Première S2 Exercices sur le chapitre 17 : E6. 2007 2008
E6 Une situation conduisant à une relation de récurrence.
Sur un axe, A0 et A1 sont les points d'abscisses respectives 0 et 1.
A2 est le milieu du segment [ A0 A1 ] ; A3 celui de [ A2 A1 ] ; … ; An celui de [ An-2 An-1 ].
Pour tout entier naturel n, on note xn l'abscisse du point An. 1 ) a )
A2 est le milieu du segment [ A0 A1 ] donc x2 = 2
x x0+ 1 =
2 0+1= 1
2 A3 est le milieu du segment [ A1 A2 ] donc x3 =
2 x x2+ 1 =
2 2 1 1+
= 3 2 × 1
2 = 3 4 A4 est le milieu du segment [ A2 A3 ] donc x4 =
2 x x2+ 3 =
2 4 3 2 1+
= 5 4× 1
2 = 5 8 b ) Etablir la relation de récurrence qui exprime xn en fonction de xn-1 et de xn-2.
An est le milieu du segment [ An-2 An-1 ] donc xn = 2
x xn−2+ n−1.
2 ) Pour tout entier n ≥ 1, on pose yn = xn − xn-1.
a ) Démontrons que la suite ( yn ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
yn+1 = xn+1 − xn = 2
x
xn−1+ n − xn = 1
2 ( xn-1 + xn − 2xn ) = 1
2 ( xn-1 − xn ) = 1
2 × ( - 1 ) × ( xn − xn-1 ) = - 1 2 × yn. Autrement dit on passe du terme yn à son suivant yn+1 en multipliant par - 1
2 .
Donc la suite ( yn ) est une suite géométrique de raison q = - 1
2 et de premier terme y1 = 1.
b ) Pour tout n ≥ 1, y1 + y2 + …+ yn-1 + yn = x1 − x0 + x2 − x1 + …+ xn-1 − xn-2 + xn − xn-1 = xn. c ) La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :
S = 1 raison
) raison ( terme 1 premier
termes de nombre
−
× − = 1 ×
2) ( 1 1
2) ( 1
1 n
−
−
− −
= ( 1 − ( -0,5 )n ) × 2 3 . Donc xn = 2
3 ( 1 − ( -0,5 )n )
d ) Les points An se rapprochent d'un point de l'axe. Lequel ?
Lorsque n tend vers + ∞, alors ( -,05 )n tend vers 0 et par conséquent les points An se rapprochent du point d'abscisse 2
3 .
