Première S2 Chapitre 5 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Fonctions paires.
Soit f ( x ) = x².
Soit x ∈ alors - x ∈ et f ( -x ) = ( - x )² = x² = f ( x ).
Donc f est une fonction paire sur .
2 Fonctions impaires.
Soit f ( x ) = 1 x
Soit x ∈ * alors - x ∈ * et f ( -x ) = x
−1 = − 1x = − f ( x ).
Donc f est une fonction impaire sur *.
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3 Axe de symétrie d'une courbe.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2x − x².
Démontrons que la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative de f.
Soit x ∈ alors 1 + x ∈ et 1 − x ∈
Et f ( 1 − x ) = 2 ( 1 − x ) − ( 1 − x )² = 2 − 2x − 1 + 2x − x² = 1 − x².
Et f ( 1 + x ) = 2 ( 1 + x ) − ( 1 + x )² = 2 + 2x − 1 − 2x − x² = 1 − x².
Donc f ( 1 − x ) = f ( 1 + x ).
Ainsi la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative de f.
Deuxième méthode
Soit A le point de coordonnées ( 1 ; 0 )dans le repère ( O ; Åi , Åj ).
Soit M un point de la courbe représentative de f coordonnées ( x ; y ) dans le repère ( O ; Åi , Åj ).
Soient ( x' ; y' ) les coordonnées du point M dans le repère ( A ; Åi , Åj ).
Alors ÄOA = 1 Åi + 0Åj et ÄOM = x Åi + y Åj et ÄAM = x' Åi + y' Åj . Or ÄOM = ÄOA + ÄAM = Åi + x' Åi + y' Åj .
Donc x = 1 + x' et y = y'
Or y = f ( x ) = 2x − x² donc y' = 2 ( 1 + x' ) − ( 1 + x' )² = 2 + 2x' − 1 − 2x' − x'² = − x'² + 1.
Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = − x² + 1.
Soit x ∈ alors − x ∈ et g ( − x ) = − ( − x )² + 1 = − x² + 1 = g ( x ).
Ainsi g est une fonction paire sur .
Autrement dit la courbe représentative de f admet dans le repère ( A ; Åi , Åj ) une équation de la forme y = g ( x ).
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4 Centre de symétrie d'une courbe.
Soit f la fonction définie sur ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ par f ( x ) = x 3
1 x 2−− .
Démontrons que le point I ( 3 ; - 2 ) est un centre de symétrie de la courbe représentative C de la fonction f.
Soit x un réel tel que 3 + x ∈ Df et 3 − x ∈ Df alors cela signifie que 3 + x ≠ 3 et 3 − x ≠ 3 ⇔ x ≠ 0.
Soit donc x un réel non nul, alors f ( 3 − x ) + f ( 3 + x )=
) x 3 ( 3
1 ) x 3 ( 2
−
−− − +
) x 3 ( 3
1 ) x 3 ( 2
+
−+ − = x 3 3
1 x 2 6−− +− +
x 3 3
1 x 2 6+− −− =
x x 2 5− +
x x 2 5+− = 5
x − 2 − 5
x − 2 = - 4
2 ) x 3 ( f ) x 3 (
f − + +
= - 4 2 = − 2.
Donc le point I ( 3 ; - 2 ) est un centre de symétrie de la courbe C de f.
Soit M ( 3 − x ; f ( 3 − x ) ) et M ' ( 3 + x ; f ( 3 + x ) ).
Alors I est le milieu du segment [ MM ' ].
Soit I le point de coordonnées ( 3 ; − 2 )dans le repère ( O ; Åi , Åj ).
Soit M un point de la courbe représentative de f coordonnées ( x ; y ) dans le repère ( O ; Åi , Åj ).
Soient ( x' ; y' ) les coordonnées du point M dans le repère ( I ; Åi , Åj ).
Alors ÄOI = 3 Åi − 2Åj et ÄOM = x Åi + y Åj et ÄIM = x' Åi + y' Åj . Or ÄOM = ÄOI + ÄIM = 3 Åi − 2Åj + x' Åi + y' Åj .
Donc x = 3 + x' et y = − 2 + y'
Or y = f ( x ) = x 3x 1
2−− donc − 2 + y' =
) ' x 3 ( 3
1 ) ' x 3 ( 2
+
−+ − = ' x 3 3
1 ' x 2
6+− −− = 5
x' − 2 ⇔ y' = 5 x' Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = 5
x Soit x ∈ alors − x ∈ et g ( − x ) = 5
-x = − 5
x = − g ( x ) Ainsi g est une fonction impaire sur .
Autrement dit la courbe représentative de f admet dans le repère ( I ; Åi , Åj ) une équation de la forme y = g ( x ).
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5 Extremum d'une fonction.
6 Majorant et minorant.
