5,725,11 23  -- yyxx --- 2412 - 61  21 - 42 -- 23 23

Première S2 Chapitre 12 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008

1 Repérage d'un point et coordonnées de vecteurs.

N O I M Åi

- 3 0 1 4 ÄOM = 4 Åi . M a pour abscisse 4 dans le repère ( O ; Åi ).

ÄON = − 3 Åi . M a pour abscisse − 3 dans le repère ( O ; Åi ).

M

J

Åj I O Åi

Åu

ÄOM = 3 Åi + 2 Åj . M a pour coordonnées ( 3 ; 2 ) dans le repère ( O ; Åi , Åj ). On note aussi M

( )

( )

−− A

( )

( )

−

ÄAB 









−−

A B B A

y y

x

x ÄAB

( )

−

− − ÄAB

( )

− Åu

( )



 



 5 , 7

25 , 11

x y ' − y x ' = 3 × 7,5 − 2 × 11,25 = 22,5 − 22,5 = 0.

Donc les vecteurs Åu et Åv sont colinéaires.

Première S2 Chapitre 12 : feuilles annexes. Page n ° 2 2007 2008

2 Distance entre deux points et coordonnées du barycentre.

A ( 3 ; 4 ) et B ( - 1 ; 2 )

AB² = ( x_B − xA ) ² + ( y_B − yA )² = ( - 1 − 3 )² + ( 2 − 4 )² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20.

Donc AB = 20 = 2 5.

Le milieu I du segment [ AB ] a pour coordonnées ( x_I ; y_I )

avec x_I = 2

x x_A+ _B =

2 ) 1 ( 3+−

= 2 2 = 1

et y_I = 2

y y_A+ _B =

2 2 4+ = 6

2 = 3.

Donc I ( 1 ; 3 ).

Démonstration des coordonnées du barycentre.

Soient A et B deux points.

Soient a et b deux réels tels que a + b ≠ 0.

Soit G le barycentre du système ( A ; a ) ; ( B ; b ).

D'après la propriété fondamentale, pour tout point M du plan, on a a ÄMA + b ÄMB = ( a + b ) ÄMG.

En particulier pour M = O on obtient a ÄOA + b ÄOB = ( a + b ) ÄOG.

⇔ a ( xA Åi + y_A Åj ) + b ( x_B Åi + y_B Åj ) = ( a + b ) ( x_G Åi + y_G Åj )

⇔ a xA Åi + b x_B Åi + a y_A Åi + b y_B Åj = ( a + b ) x_G Åi + ( a + b ) y_G Åj

⇔ 

+

= + = + +

B G A

G B

A

y ) b a ( by ay

x ) b a ( bx ax

⇔ 







++

= ++

= b a

by y ay

b a

bx x ax

A B G

A B G