Première S2 Chapitre 18 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Définition.
1 ) Exemple : étudions la convergence de la suite un = 1 n . Ecrivons la liste des termes
1 ; 1 2 ; 1
3 ; 1 4 ; 1
5 ; … ; 1
10 ; … ; 1
100 ; … ; 1 1000 ; …..
Les termes finissent par s'accumuler autour de 0.
Précisons : un est proche de 0 à α près. ( α étant un réel positif ) .
C'est à dire que un est dans l'intervalle I = ] - α ; α [ de centre 0 et de rayon α. Prenons par exemple α = 0,00001 = 10-5.
un < α ⇔ 1
n < α ⇔ 1
n < 10-5 ⇔ 1 < n × 10-5 ⇔ 5 10
1− < n ⇔ 105 < n ⇔ n > 105
Alors l'intervalle I contient presque tous les termes un.
Plus précisément il contient tous les termes un dont l'indice est supérieur à 105.
Ce qui vient d'être fait pour α = 10-5 peut être réalisé pour un autre α quelconque aussi petit que l'on veut.
C'est à dire que tout intervalle ouvert contient tous les un sauf un nombre fini d'entre eux.
2 ) Schéma récapitulatif d'une suite convergente vers L.
L
Nombre fini de termes Nombre fini de termes 3 ) Démontrons que la suite ( un ) définie pour tout n ∈ * par un = 1
n est convergente.
Soit I un intervalle ouvert contenant 0.
Alors I = ] - β ; α [ avec α > 0 et β > 0.
un < α⇔ 1
n < α⇔ 1 < n ×α ⇔ n > 1 α .
donc à partir du rang n0 ( plus petit entier strictement supérieur à 1 α ) tous les termes de la suite sont contenus dans l'intervalle I.
ainsi la suite ( un ) converge vers 0.
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4 ) Démonstration du théorème d'unicité de la limite d'une suite.
Le raisonnement que nous allons utiliser dans cette démonstration est appelé raisonnement par l'absurde Soit ( un ) une suite convergente.
Supposons que la suite ( un ) admette deux limites L et L' distinctes.
Choisissons deux intervalles disjoints notés I et I' contenant L et L'.
Dire que ( un ) converge vers L signifie qu'à partir d'un certain rang, I contient tous les termes de la suite ( un ).
Dire que ( un ) converge vers L' signifie qu'à partir d'un certain rang, I' contient tous les termes de la suite ( un ).
Or I et I' sont disjoints.
Donc ceci est impossible.
Ainsi l'hypothèse de départ était fausse.
Donc si la suite ( un ) est convergente, alors sa limite L est unique.
2 Suite divergente.
1 ) Exemple un = ( − 1 )n.
u0 = 1 ; u1 = − 1 ; u2 = 1 ; ….
2 ) Schéma
A Nombre fini de termes
3 ) Exemple : démontrons que la suite ( vn ) définie par vn = 3n² − 2 diverge vers + ∞.
Soit A un nombre réel ( aussi grand que l'on veut ).
Alors ] A ; + ∞ [ est un intervalle.
Recherchons n tel que vn > A.
vn > A ⇔ 3n² − 2 > A ⇔ 3n² > A + 2 ⇔ n² >
3
A+2 ⇔ n >
3 A+2
donc à partir du rang n0 ( n0 étant strictement supérieur à 3
A+2 ), on a vn > A.
donc tout intervalle de la forme ] A ; + ∞ [ contient tous les termes de la suite ( vn ).
D'où la suite ( vn ) diverge vers + ∞.
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3 Théorèmes.
Démontrons que la suite de terme général un = 3 n
2
n+− avec n ≥ 4 est une suite convergente et déterminons sa limite.
Soit n ≥ 4 alors un = n) 1 3 ( n
n) 1 2 ( n
− +
= n 1 3
n 1 2
− +
.
Or nlim →+∞ 1
n = 0 donc nlim →+∞ 2
n = 0 d'où nlim ( 1 + →+∞ 2 n ) = 1.
De même
+∞
→
nlim ( 1 − 3 n ) = 1.
Ainsi la suite ( un ) est convergente et
+∞
→
nlim un = 1.
4 Limites et comparaison de suites.
La démonstration du théorème des gendarmes est à connaître.
Soient ( vn ) et ( wn ) deux suites convergentes vers la même limite L.
Soit ( un ) une suite telle que vn < un < wn à partir d'un certain rang.
Soit I un intervalle ouvert contenant L et représenté ci-dessous.
vn L un wn
Nombre fini de termes Nombre fini de termes La suite ( vn ) converge vers L. Donc à partir d'un certain rang noté n0 , on a vn∈ I.
La suite ( wn ) converge vers L. Donc à partir d'un certain rang noté n1 , on a wn ∈ I.
Or vn < un < wn à partir d'un certain rang noté n2. Donc pour tout n > n2 on a un ∈ I.
Notons N le plus grand des entiers n0 , n1 , et n2.
Alors I contient tous les termes de la suite ( un ) à partir du rang N.
Donc la suite ( un ) converge vers L.
Exemple : un = n² − 10n. Démontrons que la suite ( un ) est une suite divergente.
un = n² − 10n = n ( n − 10 ).
Donc pour tout n ≥ 11 un ≥ n.
Or lim n = + ∞ Donc lim un = + ∞
