Première S2 Chapitre 23 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
3 Translations et homothéties de l'espace.
Soient O, Q, R et S les points définis par : O est le centre du carré ABFE.
Q est le milieu du segment [ BF ].
R est le milieu du segment [ AB ].
S est le centre du carré ABCD.
Ainsi le point M ' est le point tel que ÄMM ' = ÄNP = ÄNO + ÄOQ + ÄQP = ÄMA + ÄAR + ÄRS = ÄMS Donc M ' = S.
Conclusion : l'image du point M par la translation t du vecteur ÄNP est le centre du carré ABCD.
4 Conservation de diverses propriétés.
Démontrons que f la translation de vecteur Åu conserve l'alignement.
Soient A, B et C trois points alignés.
Alors, il existe un réel α tel que ÄAC = α ÄAB . Ainsi A'C'= ÄAC = α ÄAB = α A'B'
Donc les points A ', B' et C ' sont aussi alignés.
Démontrons que f l'homothétie de rapport k conserve l'alignement.
Soient A, B et C trois points alignés.
Alors, il existe un réel α tel que ÄAC = α ÄAB .
Ainsi A'C'= k ÄAC = k α ÄAB = α ( k ÄAB ) = α A'B'
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Donc les points A ', B' et C ' sont aussi alignés.
Démontrons la conservation des angles orientés.
Si f = t alors ( A'B', C'D') = ( ÄAB , ÄCD )
Si f = h alors ( A'B', C'D') = ( k ÄAB , k ÄCD ) = ( ÄAB , ÄCD ).
Démontrons la conservation des longueurs.
Si f = t alors A'B' = ÄAB donc A'B' = AB Si f = h alors A'B' =k ÄAB donc A'B' = k AB 5 Image d'une figure.
Soient A et B deux points du plan.
Soit I le milieu du segment [ AB ].
Soit M un point du plan.
Soit P le point tel que ABPM soit un parallélogramme.
Soit Q le milieu du segment [ BM ].
Alors ÄBQ = 1 2 ÄBM
Soit h l'homothétie de centre B et de rapport 1 2 . L'image d'un cercle par une homothétie est un cercle.
Donc l'ensemble des points Q lorsque le point M décrit le cercle C de diamètre [ AI ] est le cercle C ' de diamètre [ A' I' ] avec A ' = h ( A ) et I ' = h ( I ).
Or BA' = 1
2 ÄBA = ÄBI donc A ' et I sont confondus.
Et ÄBI ' = 1
2 ÄBI donc I ' est le milieu du segment [ BI ].
Donc C ' est le cercle de diamètre [ II' ].
