Première S2 Exercices sur le chapitre 22 : E5. page n ° 1 2007 2008
E5 Savoir déterminer des équations cartésiennes de cônes de révolution.
1 ) Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( O ; →i , →j , Åk ) , on considère le point A ( 6 ; - 4 ; 2 ).
Déterminer une équation cartésienne du cône de révolution K de sommet O et d'axe ( Oz ), qui passe par le point A. On précisera l'angle formé par l'axe et une génératrice de ce cône.
Une équation de ce cône est : x² + y² = z² tan ² θ.
Or A est un point de ce cône. Donc 36 + 16 = 4 tan² θ ⇔ tan² θ = 52 4 = 13.
Donc une équation de ce cône est : x² + y² = 13 z² .
Je cherche θ tel que tan² θ = 13 ⇔ tan θ = 13 ⇔ θ ≈ 74,5 degrés.
2 ) Soit K1 le cône de sommet ( Ox ) dont les génératrices forment un angle θ1 = π
3 avec l'axe ( Ox ).
A ) Une équation de ce cône est y² + z² = x² tan² θ1⇔ y² + z² = x² tan² π
3 = x² × 3 = 3x² Une équation du cône K1 est y² + z² = 3x².
B ) 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 3 × 2² = 12. Donc A est un point de ce cône.
2 + 16 = 18 et 3 × 6 = 18. Donc B est un point de ce cône.
Les points A ( -2 ; 3 ; 3 ) et B ( 6 ; 2 ; 4 ) appartiennent au cône K1.
3 ) Déterminer une équation cartésienne du cône K2 de sommet O et d'axe ( Oz ) et passant par le point A.
Une équation de ce cône est x² + y² = z² tan² θ
Or A est un point de ce cône donc 4 + 9 = 3 tan² θ ⇔ tan ²θ = 13 3 Une équation de ce cône est x² + y² = 13
3 z² avec un angle proche de 64,3 degrés.
4 ) Déterminer une équation cartésienne du cône K3 de sommet O et d'axe ( Oy ) et passant par le point B.
Une équation de ce cône est x² + z² = y² tan² θ
or B est un point de ce cône donc 6 + 16 = 2 × tan² θ ⇔ tan ² θ = 22 2 = 11.
Donc une équation du cône est x² + z² = 11 y² avec un angle de 73,2 degrés.
5 ) a ) On considère le point A ( 1 ; 0 ; 1 ). Déterminer une équation du cône de révolution K de sommet O et d'axe ( Oz ) passant par le point A.
une équation de ce cône est x² + y² = z² tan² θ avec 1 + 0 = 1 tan ²θ ⇔ tan ² θ = 1.
Donc une équation de ce cône est x² + y² = z².
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b ) Déterminer l'intersection du cône K et de la sphère S de sommet O et passant par le point A.
La sphère de centre O a pour équation x² + y² + z² = R² avec 1 + 0 + 1 = R² = 2.
Donc une équation de la sphère S est x² + y² + z² = 2.
Le cône K admet une équation du type : x² + y² = z².
Donc Un point M ( x ; y ; z ) appartient à l'intersection du cône K et de la sphère S si et seulement si ses coordonnées vérifient le système : x² + y² + z² = 2 et x² + y² = z²
⇔ 2z² = 2 et x² + y² = z² ⇔ z² = 1 et x² + y² = 1 ⇔ z = 1 ou z = - 1 et x² + y² = 1.
L'équation z = 1 est celle du plan parallèle au plan ( XOY ) et passant par le point B ( 0 ; 0 ; 1 ).
L'équation z = - 1 est celle du plan parallèle au plan ( XOY ) et passant par le point C ( 0 ; 0 ; - 1 ).
L'équation x² + y² = 1 est celle d'un cylindre de révolution d'axe ( Oz ) et de rayon 1.
Or l'intersection du plan d'équation z = 1 et du cylindre d'équation x² + y² = 1 est le cercle de centre B et de rayon 1 inclus dans le plan ( B ; →i ,→j ).
Or l'intersection du plan d'équation z = - 1 et du cylindre d'équation x² + y² = 1 est le cercle de centre C et de rayon 1 inclus dans le plan ( C ; →i ,→j ).
Donc l'intersection de la sphère et du cône est la réunion de ces deux cercles.
6 ) Le cylindre C a pour axe ( Oz ) et son cercle de base a pour rayon 3.
Donc une équation de ce cylindre est x² + y² = 3.
Le cône K a pour axe ( Ox ) et ses génératrices font un angle de π
3 avec ( Ox ).
Donc une équation de ce cône est y² + z² = x² tan ² π
3 = x² × 3.
Un point M de coordonnées ( x ; y ; z ) appartient à l'intersection de C, de K et du plan d'équation z = 1 si et seulement si ses coordonnées vérifient : x² + y² = 3 et y² + z² = 3x² et z = 1 ⇔
x² + y² = 3 et y² + 1 = 3x² et z = 1 ⇔ z = 1 et y² = 3x² − 1 et x² + 3x² − 1 = 3 ⇔ z = 1 et y² = 3x² − 1 et 4x² = 4 ⇔ z = 1 et x² = 1 et y² = 3 − 1 = 2 ⇔
z = 1 et x = 1 ou x = -1 et y = 2 ou y = - 2
Les points communs à C et à K situés dans le plan d'équation z = 1 ont pour coordonnées respectives : A ( 1 ; 2 ; 1 ) B ( -1 ; 2 ; 1 ) C ( 1 ; - 2 ; 1 ) et D ( - 1 ; - 2 ; 1 ).
