Soit G1 le barycentre du système de points pondérés

Première S2 Exercices sur le chapitre 22 : E6. page n ° 1 2007 2008

E6 Exercice 4 du sujet du bac 2004 aux Antilles Guyane sur 5 points à faire en 40 min…

On considère le tétraèdre ABCD ; on note I le milieu du segment [ AB ] et J celui de [ CD ].

1. a. Soit G₁ le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; - 1 ), ( D ; 1 ) }.

La somme des coefficients est non nulle, donc le barycentre existe et pour tout point M du plan, la propriété fondamentale s'écrit : 2 ÄMG = ÄMA + ÄMB − ÄMC+ ÄMD

en particulier pour M = I on a : 2 ÄIG₁ = ÄIA + ÄIB − ÄIC + ÄID

Or I est le milieu de [ AB ] donc ÄIA + ÄIB = Å0 donc 2ÄIG₁ = ÄCI + ÄID = ÄCD ⇔ ÄIG₁ = 1 2 ÄCD Placer I, J et G₁ sur une figure. Voir feuille annexe 1. ( 0 ,75 point ).

b. Soit G₂ le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( D ; 2 ) }.

La somme des coefficients est égale à 4 donc est non nulle donc le barycentre existe.

De plus, d'après l'associativité du barycentre, G est aussi le barycentre de ( I, 2 ) , ( D , 2 ) Autrement dit G2 est le milieu du segment [ ID ]. Placer G2. Voir annexe 1 ( 0,5 point ).

c. ÄIG₁ = 1

2 ÄCD = ÄJD car J est le milieu de [ CD ].

Or ceci prouve que IG₁DJ est un parallélogramme.

Or G₂ est le milieu du segment [ ID ].

Et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Donc G₂ est le milieu de [ G₁ J ]. ( 0,75 point ).

2. Soit m un réel. On note G_m le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; m − 2 ), ( D ; m ) }.

a. Préciser l'ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentre G_m existe. ( 0,5 point ).

E = { m ∈ / 1 + 1 + m − 2 + m ≠ 0 }= { m ∈ / 2m ≠ 0 }= ^*

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l'ensemble E.

b. G_m le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; m − 2 ), ( D ; m ) }.

Donc pour tout M on a 2m ÄMG = ÄMA + ÄMB + ( m − 2 ) ÄMC + m ÄMD

En particulier pour M = I on a 2m ÄIG = ÄIA + ÄIB + ( m − 2 ) ÄIC + m ÄID = ( m − 2 ) ÄIC + m ÄID . Ce qui signifie que G_m appartient au plan ( ICD ).

c. 2m ÄJG_m = ÄJA + ÄJB + ( m − 2) ÄJC + m ÄJD = ÄJA + ÄJB + m ( ÄJC + ÄJD ) − 2 ÄJC = ÄJA + ÄJB− 2 ÄJC .

= ÄJI + ÄIA + ÄJI + ÄIB − 2 ÄJC = 2 ÄJI + 2 ÄCJ = 2 ÄCI Donc ce vecteur est constant.

d. En déduire l'ensemble F des points G_m lorsque m décrit l'ensemble E.

CIG₁J est un parallélogramme car ÄIG₁ = ÄCJ donc ÄCI = ÄJG₁ Or ÄJG_m = 1

m ÄCI = 1

mÄJG₁ m étant non nul.

ÄJG_m et ÄJG₁ sont colinéaires donc le point G_m appartient à la droite ( JG₁ ) Or ÄJG_m ne peut pas être égal au vecteur nul car 1

m est non nul.

Donc J ≠ Gm cad si G_m ∈ F alors Gm ∈ ( JG1 ).

Réciproquement soit M un point de la droite ( JG₁ ) distinct de J.

Alors cela signifie qu'il existe un réel a tel que ÄJM = a ÄJG₁ Posons m = 1

a avec m ≠ 0 alors ÄJM = 1

m ÄJG₁ donc M = G_m donc M appartient à F.

Donc l'ensemble F des points G_m est la droite ( JG₁ ) privée du point J.

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P 261 n ° 68.

Soit S la sphère de centre O et de rayon 1.

Soit a un réel de ] 0 ; 1 [ Soit P le plan d'équation z = - a.

Soit A ( 0 ; 0 ; 1 )

Soit K le cône de sommet A et ayant pour base C P 257 n ° 33.

On trace dans le plan ( xOy ) la droite D d'équation y = 2x.

On fait pivoter la droite D autour de ( Oy ) : elle engendre un cône de révolution C.

a. Soit C le cône de révolution de sommet O et d'axe ( Oy ) dont chaque génératrice forme un angle θ avec cet axe.

Soit M un point quelconque de l'espace de coordonnées ( x ; y ; z ).

Alors M ∈ C ⇔ x² + z² = y² tan² θ Or ici tan q = opp

adj = 1 2 .

Donc une équation de C dans le repère est x² + z² = 1 4 × y² b. Soit S la sphère de centre O et de rayon 1.

Soit M un point de l'espace appartenant à la fois à la sphère et au cône.

Alors ses coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient : x² + y² + z² = 1 et 4x² − y² + 4z² = 0 Donc les points d'intersection sont situés dans le plan ( xOz ).

P 257 n ° 34.

Soit C le cône d'équation x² + y² = z².

Soit P le plan d'équation z = 2 dans lequel on construit le repère ( Ω ; ^→i , ^→j ).

Déterminons l'intersection de C avec P par son équation dans le repère ( Ω ; ^→i , ^→j ).

Soit M un point de l'espace appartenant à la fois au cône C et au plan P.

Alors ses coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient x² + y² = z² et z = 2 ⇔ x² + y² = 4.

L'intersection de P et de C dans le repère ( Ω ; ^→i , ^→j ) est le cercle d'équation x² + y² = 4.

p 261 n ° P 261 n ° 61.

Soit S la sphère de centre O et de rayon 1 et le plan P d'équation z = a avec 0 < a < 1.

Ce plan coupe ( Oz ) au point A et coupe S suivant un cercle C.

a. Donnons une équation de C dans le plan P rapporté au repère ( A ;

→

i , ^→j ).

S est la sphère de centre O et de rayon 1 donc son équation est x² + y² + z² = 1.

P est le plan d'équation z = a.

A est le point d'intersection de P et de ( Oz ) . donc A ( x ; y ; a ).

C est l'intersection de S et de P.

Soit M un point de C alors ses coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient : x² + y² + z² = 1 et z = a ⇔ x² + y² + a² = 1 ⇔ x² + y² = 1 − a².

une équation de C est donc x² + y² = 1 − a².

b. Soit K le cône de révolution d'axe ( Oz ) dont une génératrice est ( OM ).

Où M est un point quelconque de C.

Soit Q la portion de K comprise entre les plans d'équations z = 0 et z = a.

Une équation de K est x² + y² = z² tan² b P 261 n ° 62.

Soit C le cône d'équation x² + y² = 3z².

a. L'axe de ce cône est ( Oz ) et l'angle θ que font les génératrices avec cet axe vérifie : tan² θ = 3 ⇔ tan θ = 3 ⇔ θ = 60 °.

b. Démontrons qu'il existe trois points A, B, et C d'abscisses 2 ; 1 et - 1 appartenant au plan d'équation z = - 2 et d'ordonnées y à déterminer…

4 + y² = 12 ⇔ y² = 8 ⇔ y = 8 ou y = - 8 1 + y² = 12 ⇔ y² = 11 ⇔ y = 11 ou y = - 11 1 + y² = 12 ⇔ y² = 11 ⇔ y = 11 ou y = - 11