Première S2 Exercices sur le chapitre 22 : E1. 2007 2008
E1 Savoir repérer dans l'espace.
P 257 n ° 30.
ABCDA'B'C'D' est un parallélépipède.
A ( 1 ; 1 ; 2 ) B ( 2 ; - 1 ; 0 ) D ( 2 ; 3 ; 5 ) B' ( 4 ; 7 ; 9 ).
ABCD est un parallélogramme. Donc ÄCD = ÄBA or ÄBA ( -1 ; 2 ; 2 ) donc ÄCD ( -1 ; 2 ; 2 ).
Donc C ( x ; y ; z ) on a 2 − x = -1 et 3 − y = 2 et 5 − z = 2. D'où x = 3 et y = 1 et z = 3. C ( 3 ; 1 ; 3 ).
'
BB = AA donc x − 1 = 4 − 2 et y − 1 = 7 + 1 et z − 2 = 9 − 0' ainsi x = 3 et y = 9 et z = 11 donc A ' ( 3 ; 9 ; 11 ).
'
BB = CC'donc x − 3 = 4 − 2 et y − 1 = 7 + 1 et z − 3 = 9 − 0 ainsi x = 5 et y = 9 et z = 12 donc C ' ( 5 ; 9 ; 12 ).
'
BB = DD'donc x − 2 = 4 − 2 et y − 3 = 7 + 1 et z − 5 = 9 − 0 ainsi x = 4 et y = 11 et z = 14 donc D ' ( 4 ; 11 ; 14 ).
P 257 n ° 31.
Soit A ( 0 ; 0 ; 3 ) B ( 0 ; 0 ; 0 ) C ( 2 ; 3 ; - 1 ) D ( - 1 ; 5 ; 1 ) a. G est le barycentre de ( A ; 2 ) , ( B ; 1 ) , ( C ; 3 ) , ( D ; 6 ).
Les coordonnées du barycentre sont données par les formules :
xG =
d c b a
dx cx bx
axA B C D
+ + + + +
+ et yG =
d c b a
dy cy by
ayA B C D
+ + + + +
+ et zG =
d c b a
dz cz bz
azA B C D
+ + + + + +
Ici x = ( 6 − 6 ) / 12 = 0 et y = ( 9 + 30 ) / 12 = 39 12 = 13
4 et z = ( 6 − 3 + 6 ) / 12 = 9 12 = 3
4 Donc G ( 0 ; 13
4 ; 3 4 )
ÄAB = 3 ÄAI donc je cherche x, y et z tels que 0 = 3x et 0 = 3 y et - 3 = 3 ( z − 3 ) ⇔ x = 0 et y = 0 et z = 2.
I ( 0 ; 0 ; 2 ).
K est le milieu de [ CI ] donc j'applique les formules :
xk = 2
x xC+ I
et yK = 2
y yC+ I
et zK = 2
z zC+ I
x= ( 2 ) / 2 = 1 et y = 3/2 et z = ( 2 − 1 ) / 2 donc K ( 1 ; 1,5 ; 0,5 ).
b. Appelons L le milieu de [ DK ] et calculons ses coordonnées : x = ( 1 − 1 ) / 2 = 0 et y = ( 5 + 1,5 ) / 2 = 13 4 et z = ( 1 + 0,5 ) / 2 = 3
4
Or ce sont les coordonnées de G donc G est le milieu de [ DK ].
