Première S2 Exercices sur le chapitre 22 : E3. 2007 2008
E3 Savoir déterminer une équation d'une sphère.
Soit S la sphère de centre O et de rayon 3 et soit B la boule de centre O et de rayon 3.
1 ) Déterminons une équation cartésienne de S : M ( x ; y ; z ) ∈ S ⇔ OM = 3 ⇔ x² + y² + z² = 9
2 ) Pour chacun des points A, B, C et D donnés ci dessous, indiquons s'il appartient à la sphère S et si ce n'est pas le cas, précisons s'il appartient à la boule B.
A ( - 1 ; 2 ; - 2 ) OA² = 1 + 4 + 4 = 9. Donc A ∈ S et A ∈ B.
B ( 1,5 ; 0,5 , -0,2 ) OB² = 2,25 + 0,25 + 0,04 = 2,54 Donc B ∈ B et B n'appartient pas à S.
C ( 5 ; 2 ; 0 ) OC² = 5 + 4 = 9. Donc C ∈ S et C ∈ B.
D ( - 4 ; 2/3 ; 2 ). OD² = 16 + 4
9 + 4 = 184 9 . Donc D n'appartient pas à la boule. Ni à la sphère.
3 ) Soit a un réel et E le point de coordonnées ( 3 ; 2 ; a ). Déterminons l'ensemble des réels a tels que : a ) le point E appartient à la sphère S si et seulement si 3 + 2 + a² = 9 ⇔ a² = 4 ⇔ a = 2 ou a = - 2
L'ensemble des solutions est { -2 ; 2 }.
b ) le point E appartient à la boule B si et seulement si 3 + 2 + a² ≤ 9 ⇔ a² ≤ 4 ⇔ - 2 ≤ a ≤ 2.
L'ensemble des solutions est [ - 2 ; 2 ].
c ) le point E n'appartient pas à la boule B si et seulement si 3 + 2 + a² > 9 ⇔ a² > 4.
L'ensemble des solutions est ] - ∞ ; - 2 [ U ] 2 ; + ∞ [ .
