Première S2 Chapitre 15 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Equations de droites. D
Åv
Åu D est une droite.
Åv est un vecteur directeur de D.
Åu est un vecteur normal à D.
équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal.
D
M
A
Ån
D est une droite.
Soit D la droite passant par A ( xA ; yA ) et admettant Ån ( a ; b ) comme vecteur normal.
Soit M ( x ; y ) un point du plan.
M ∈ D ⇔ ÄAM. Ån = 0 ⇔ ( x − xA ) × ( a ) + ( y − yA ) × b = 0 ⇔ ax − axA + by − b yA = 0 ⇔ ax + by + c = 0
En posant c = − axA − b yA . M
2 Equations de cercles.
Soient A ( - 1 ; 3 ) et B ( 2 ; 2 ) deux points du plan.
A B
Trouvons une équation du cercle de diamètre [ AB ].
Soit M ( x ; y ) un point du plan.
Alors M ∈ C ⇔ ÄAM. ÄBM = 0 ⇔ ( x + 1 ) × ( x − 2 ) + ( y − 3 ) × ( y − 2 ) = 0
⇔ x² − 2x+ x − 2x − 2 + y² − 2y − 3y + 6 = 0 ⇔ x² + y² − x − 5y + 4 = 0
équation d'un cercle.
Soit M ( x ; y ) un point du plan.
Soit C un cercle de centre Ω ( a ; b ) et de rayon R.
M ∈ C ⇔ ΩM = R ⇔ ΩM² = R² ⇔ ( x − a )² + ( y − b )² = R².
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3 Application à la trigonométrie.
Démonstration des formules d'addition.
C est le cercle trigonométrique.
Soient Åu et Åv les vecteurs tels que ( Åi , Åu ) = a [ 2π ] et ( Åi , Åv ) = b [ 2 π ].
Alors ( Åu , Åv ) = ( Åu , Åi ) + ( Åi , Åv ) = − a + b = b − a.
Exprimons de deux manières le produit scalaire Åu. Åv .
Åu . Åv = u × v × cos ( Åu , Åv ) = 1 × 1 × cos ( b − a ) = cos ( b − a ) = cos ( − ( b − a ) ) = cos ( a − b ).
Åu . Åv = x x' + y y' = cos a cos b + sin a sin b.
Donc cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b.
cos ( a + b ) = cos ( a − ( − b ) ) = cos a cos ( − b ) + sin a sin ( − b ) = cos a cos b − sin a sin b.
Or sin a = cos ( π 2 − a ) Donc sin ( a − b ) = cos ( π
2 − ( a − b ) ) = cos ( π
2 + b − a ) = cos ( π
2 + b ) cos a + sin ( π
2 + b ) sin a sin ( a − b ) = − sin b cos a + cos b sin a = cos b sin a − sin b cos a.
sin ( a + b ) = sin ( a − ( − b ) ) = cos ( − b ) sin a − sin ( − b ) cos a = cos b sin a + sin b cos a.
Démontrons les formules de duplication.
sin ( 2a ) = sin ( a + a ) = cos a sin a + sin a cos a = 2 sin a cos a.
cos ( 2a ) = cos ( a + a ) = cos a cos a − sin a sin a = cos ² a − sin ² a
cos ( 2a ) = cos ² a − ( 1 − cos² a ) = cos ²a − 1 + cos ² a = 2 cos ² a − 1
cos ( 2a ) = 1 − sin ² a − sin² a = 1 − 2 sin² a.
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4 Quelques exemples simples de détermination de lieux géométriques.
Soient A et B deux points fixés tels que AB = 6 cm.
Déterminons l'ensemble des points M du plan tels que ÄAM. ÄAB = 3.
Soit H le point de la droite ( AB ) tel que ÄAH . ÄAB = 3.
Alors ÄAH . ÄAB = AH × 6 = 3 ⇔ AH = 3 6 = 0,5.
Donc le point H est le point du segment [ AB ] tel que AH = 0,5 cm.
Soit M un point quelconque du plan tel que ÄAM . ÄAB = 3.
Alors ÄAM . ÄAB = 3 ⇔ ( ÄAH + ÄHM ) . ÄAB = 3 ⇔ ÄAH . ÄAB + ÄHM . ÄAB = 3 ⇔ 3 + ÄHM . ÄAB = 3
⇔ ÄHM . ÄAB = 0.
Donc l'ensemble des points M cherchés est la droite passant par H et perpendiculaire à la droite ( AB ).
