Seconde 1 Chapitre 3 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Intervalles.
L'intervalle semi ouvert [ 1 ; 5 [ désigne l'ensemble de tous les nombres x tels que 1 ≤ x < 5.
L'intervalle ] - ∞ ; 2 ] désigne l'ensemble de tous les nombres x tels que x ≤ 2
Notations des ensembles de nombres particuliers.
+ = [ 0 ; + ∞ [.
− = ] - ∞ ; 0 ].
* = − { 0 }.
= ] - ∞ ; + ∞ [.
− * = ] 0 ; + ∞ [.
2 Intersection et réunion d'intervalles.
Commentaire : L'intersection des intervalles [ - 2 ; 3 ] et [ 1 ; 5 ] est l'intervalle [ 1 ; 3 ].
Notation : [ - 2 ; 3 ] ∩ [ 1 ; 5 ] = [ 1 ; 3 ].
Commentaire : La réunion des intervalles [ - 2 ; 3 ] et [ 1 ; 5 ] est l'intervalle [ -2 ; 5 ].
Notation : [ - 2 ; 3 ] U [ 1 ; 5 ] = [ -2 ; 5 ].
2 3 4 5 6 7
-1 -2 -3 -4
-1
0 1
1
x y
2 3 4 5 6 7
-1 -2
-1
0 1
1
x y
2 3
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
-1
0 1
1
x y
Seconde 1 Chapitre 3 : feuilles annexes. Page n ° 2 2007 2008
3 Comparaison des nombres.
196 = 14 -12 > - 21 5,39 < 7,389
-5,12 > -5,21 - 5
2 > - 7 2
3 5 < 3
7 - 1
2 < 0 et 2 > 0 donc - 1
2 < 2 5
4 > 1 et 3
8 < 1 donc 5 4 > 3
8 Pour comparer 4
5 et 5
6 aucun des critères de comparaison ne s'applique facilement.
Donc on utilise la méthode de la différence.
4 5 − 5
6 = 5 6 5 5 6
4× ×− × = 30
24−25 = - 1
30 . Donc 4
5 − 5
6 < 0 ainsi 4 5 < 5
6 . 4 Comparaison de a, a², a3.
Démonstration du théorème
Soit a un nombre réel strictement positif et strictement inférieur à 1.
Alors 0 < a < 1
Multiplions les trois membres de cette inégalité par a.
On obtient 0 × a < a × a < 1 × a ⇔ 0 < a² < a
Multiplions les trois membres de cette inégalité par a.
On obtient 0 × a < a² × a < a × a ⇔ 0 < a3 < a².
En écrivant les inégalités obtenues nous obtenons a3 < a² < a < 1.
Faire la même chose pour a > 1.
5 Des encadrements.
Théorème 1 Soient a, b et c trois réels. Si a < b et b < c alors a < c.
Démonstration
Soient a, b, et c trois réels.
Supposons a < b et b < c.
Or a − c = a − b + b − c
Et a < b ⇔ a − b < 0 et b < c ⇔ b − c < 0.
Donc a − c < 0 ⇔ a < c.
Théorème 2 Soient a, b, et c trois réels. Alors a < b ⇔ a + c < b + c.
Démonstration
Soient a, b, et c trois réels.
Supposons a < b
Alors a + c − ( b + c ) = a + c − b − c = a − b.
Or a − b < 0. Donc a + c − ( b + c ) < 0 ⇔ a + c < b + c.
Application : résoudre l'inéquation x + 3 ≤ 5.
x + 3 ≤ 5 ⇔ x + 3 − 3 ≤ 5 − 3 ⇔ x ≤ 2. L'ensemble des solutions est ] - ∞ ; 2 ].
Seconde 1 Chapitre 3 : feuilles annexes. Page n ° 3 2007 2008
Théorème 3 Soient a, b, c et d quatre réels. Si a < b et c < d alors a + c < b + d.
Démonstration
Soient a, b, c, et d quatre réels.
Supposons que a < b et c < d.
Alors a + c − ( b + d ) = a + c − b − d = a − b + c − d Or a − b < 0 et c − d < 0.
Donc a + c − ( b + d ) < 0 ⇔ a + c < b + d.
Application : encadrons 2 + 7.
1,4 < 2 < 1,5 et 2,6 < 7 < 2,7.
D'après le théorème 3,
1,4 + 2,6 < 2 + 7 < 1,5 + 2,7 ⇔ 4 < 2 + 7 < 4,2
Théorème 4 Soient a, b et c trois réels. Si c > 0 alors a < b ⇔ ac < bc.
Démonstration
Soient a, b et c trois réels.
Supposons c > 0 et a < b.
Alors ac − bc = ( a − b ) × c Or a − b < 0 et c > 0.
Donc ac − bc < 0 ⇔ ac < bc
Application : résoudre l'équation 5x > 4.
5x > 4 ⇔ 5x 5 > 4
5 ⇔ x > 4
5 . L'ensemble des solutions est ] 4
5 ; + ∞ [.
Théorème 5 Soient a, b et c trois réels. Si c < 0 alors a < b ⇔ ac > bc.
Démonstration
Soient a, b et c trois réels.
Supposons c < 0 et a < b.
Alors ac − bc = ( a − b ) × c Or a − b < 0 et c < 0.
Donc ac − bc > 0 ⇔ ac > bc
Application : résoudre l'équation - 5x > 20.
-5x > 20 ⇔ 5
x
−5
− <
5
20− ⇔ x < - 4. L'ensemble des solutions est ] - ∞ ; - 4 [.
Théorème 6 Soient a, b, c et d quatre réels positifs. Si a < b et c < d alors ac < bd Démonstration
Soient a, b , c, et d quatre réels positifs.
Supposons a < b et c < d.
Alors ac − bd = ac − bc + cb − bd = ( a − b ) × c + ( c − d ) × b Or a − b < 0 et c > 0 et c − d < 0 et b > 0
Donc ac − bd < 0 ⇔ ac < bd Application : encadrer 2 × 7.
1,4 < 2 < 1,5 et 2,6 < 7 < 2,7.
D'après le théorème 6,
1,4 × 2,6 < 2 × 7 < 1,5 × 2,7 ⇔ 3,64 < 2 × 7 < 4,05.
