Chapitre 3 Seconde
Vecteurs et coordonnées
Introduction:
Une transformation du plan est un "mécanisme" qui à un point M associe un unique point M ' appelé image de M.
( Tous les points ont une image et une image ne peut être obtenue qu'à partir d'un seul point )
1. A quelle notion une transformation vous fait-elle penser ? 2. Quelles transformations avez-vous rencontrées au collège ?
Transformation Propriété géométrique associée
I. Translation et vecteur
1. Une nouvelle transformation: la translation ; vecteur associé.
Définition A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu.
Remarques :
Pour définir une translation, deux points sont nécessaires.
Une translation est assimilable à un ...
...
Un outil regroupe les caractéristiques d'une translation qui transforme A en B : ...
Transformation Propriété géométrique associée
2. Vecteurs égaux
Définition Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B, associe le point D au point C. On note :
AB=CD Propriété résultant de la conséquence:
AB=CD ⇔ ...
Exercice:
Construire les vecteurs égaux à AB ayant C, E comme origine et H comme extrémité.
Représentant
Vecteur nul (notation) Vecteurs opposés (notation)
Exercice: A, B, O et O ' sont quatre points distincts. C et D sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à O. E et F sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à O '.
Démontrer que DCEF est un parallélogramme.
II. Addition de vecteurs.
2. Composition de deux translations
Construire ci-contre le point M', image du point M par la translation de vecteur u puis l'image M'' de M' par la translation de vecteur v .
En enchaînant ces 2 translations, on dit qu'on les a composées.
Pour passer directement de M à M'', on peut faire directement
une seule translation de vecteur w :
– on dit que w est le « vecteur somme » de u et v et on écrit : w=uv 2. Additionner deux vecteurs : technique
La 2ème « lettre » d’un des
vecteurs est la 1ère de l'autre : La « première lettre » des 2
vecteurs est la même : Les 2 vecteurs n'ont aucun point en commun :
Remarque: Dans la relation de Chasles, ne pas confondre ABBC=AC (vecteurs) et ABBC=AC (longueurs)
La première est ..., la seconde ...
III. Soustraction de deux vecteurs Remarques: u + –u = 0
Définition : Soustraire un vecteur v , c'est ajouter son opposé –v . On pose u –v = u+–v
Ainsi, u –v est appelé vecteur différence entre u et v . Exemple: Choisir deux vecteurs u et v et
construire la différence u –v.
IV. Multiplication d'un vecteur par un réel
1.Définition: Soit u=AB un vecteur et k un réel non nul, si C est tel que AC=ku alors:
C appartient à [AB) si k0 et C est aligné avec A et B mais C ∉ [AB) si k0 ;
La longueur AC est égale à la longueur AB multipliée par le nombre positif obtenu à partir de k
exemples :
remarque : On a également dans ce cas : u=1 3v.
→ v=– 1
2u
k=–12
r
emarque : on a alors aussi : u=–2v
→ cas où k=0 : on convient que 0⋅u=0 (« zéro fois un vecteur quelconque donne le vecteur nul ») 2. Colinéarité de deux vecteurs. Propriété et Définition : Soit u et v 2 vecteurs.
u et v sont colinéaires ⇔ L'un est le produit de l'autre par un nombre réel k . ⇔ Il existe un réel k tel que u=kv ou v=ku
Comme 0⋅u=0 , par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Parallélisme et alignement
• Point méthode N° 1: Démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles revient à prouver que les vecteurs AB et CD sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel non nul k tel que AB=kCD.
• Point méthode N° 2: Démontrer que trois points A, B, C sont alignés
revient à prouver que les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel non nul k tel que AB=kAC .
Illustration par des exemples:
1. Soit ABCD un parallélogramme non aplati . Soit P le point tel que BP=1
2AB et Q tel que
AQ=3AD Construire Pet Q puis établir les relations vectorielles : CP=1
2ABCB et
QC=2CBAB.
2. Soit ABC un triangle et soit I le point tel que AI=1
3AB et J tel que AJ=3AC . Prouver que IC et BJ sont parallèles.
3. Vecteurs et milieu d'un segment : propriété :
I est le milieu d'un segment [AB] ⇔ AIBI=0 ⇔ AI= IB ⇔ AI=1 2AB
V. Vecteurs et coordonnées
1.Repère : Deux vecteurs non colinéaires et un point du plan définissent un repère.
Si les vecteurs sont orthogonaux, le repère est dit orthogonal; si de plus les longueurs (normes) des vecteurs valent 1, le repère est dit orthonormal.
Notation O ,i , j.
2. Coordonnées d'un vecteur:
Dans un repère O ,i ,j, on a la définition suivante : M a pour coordonnées x;y
⇔ OM=x⋅iy⋅j et u a pour coordonnées
ab
⇔ u=a⋅ib⋅j. Propriétés :(A connaître)
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
Dans un repère O ,i ,j, u
ab
et u '
a 'b '
et k un nombre réel : les coordonnées de uu ' sont
aba 'b '
et les coordonnées de k⋅u sont
kakb
.Dans un repère O ,i , j, si AxA;yA et BxB;yB : le vecteur AB a pour coordonnées
xyBB– x– yAA
le milieu I de [AB] a pour coordonnées
xA2xB; yA2yB
.Dans un repère O ,i ,j orthonormal, la longueur AB est donnée par la formule : AB=xB– xA2yB– yA2
3. Condition de colinéarité de deux vecteurs :
Dans un repère O ,i ,j, u
ab
et u '
a 'b '
u et v sont colinéaires ⇔ leurs coordonnées sont proportionnelles ⇔ ab '=a ' b
Exercices :
1. Le plan est muni d'un repère. On considère les points A–2 ;3 , B4 ;–1 et C1 ;4. Déterminer le point D4 ;y tel que ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD].
2. On considère le parallélogramme ABCD. P est le milieu de [AD], Rest le symétrique de B par rapport à D et le point Q vérifie AQ=1
3AB. En se plaçant dans le repère A ;AQ;AP, montrer que les points P, Q et R sont alignés.
