Chapitre 1 : les fonctions Seconde

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Introduction : Introduction :

Le principe d'une fonction est celui d'une « machine » à transformer des nombres et peut se schématiser de la façon suivante :

exemple:

La fonction ci-dessous permet de remplir le tableau de valeurs suivant :

Antécédent x Image y

2 5

4 9

-3 -5

3 4

5 2



2 2



21

x 2x1

I. Définition d'une fonction, représentation graphique.

Définition  fonction

A chaque fois que l'on transforme un nombre x en un autre nombre y, on dit que l'on définit une fonction numérique. Les fonctions sont désignées par des lettres.

Notation : f : x y ou y=fx

On dit que y est l'image de x

On dit que x est un antécédent de y.

Exemple On considère la fonction  f définie par : f : x x²–2^pour ^x∈ [–3;3] 1. Quel est le mécanisme de transformation de f ?

2. Quelle est l'image de 3 ? de –2 ? de 0,5 ?

3. Quels sont les éventuels antécédents de 7? de –3?

Définition de la représentation graphique d'une fonction  Un repère est donné, et f est une fonction. Le schéma fonctionnel f : x y met en évidence le couple x;y qui fait penser

aux coordonnées d'un point dans un repère. L'ensemble de tous les points de coordonnées

x; f x s'appelle la représentation graphique de f ou courbe représentative de f. Remarque :

Remarque : une telle fonction est appelée fonction affine.

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Exemple  Retour sur f : x _x²_–₂ , x∈[–3 ;3]

Pour tracer la courbe représentative de f, il est d'usage de réaliser un tableau de valeurs.

x y=fx _{Point de}C_f

–3 –3 ;

–2 –2;

–1 –1 ;

0 0 ;

1 1;

2 2 ;

3 3;

Calculatrice :

 saisir l'expression de f x en utilisant la touche de variables . pour choisir les valeurs de x puis .

 ou saisir l'expression de f x en utilisant la touche de variables . ou pour choisir les valeurs de x. Définition  Ensemble de définition.

On appelle ensemble de définition d'une fonction f, l'ensemble de tous les réels x pour lesquels f x est calculable.

(Les opérations interdites en maths sont par exemple : la division par 0, la racine carrée d'un nombre négatif.)

Exercice :

Exercice : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes:

f x=



2x –5 et gx=3x –1 x –2

Remarque:

Remarque: En pratique, lorsque un exercice stipule d'étudier une fonction sur un intervalle donné, les antécédents doivent absolument être pris dans cet intervalle.

II. Sens de variation d'une fonction Définition  fonction croissante, décroissante.

Soit f un fonction définie sur un intervalle I. On dit que:

f est croissante sur I si pour tous u^etv^dansI^:uv ⇒ f uf v.

f est strictement croissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒ f uf v. f est décroissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒ f uf v.

f est strictement décroissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒

CASIO MENU TABLE

X,,T RANG TABLE

T.I Y= f(x)=

X,,T DefTable Tablset

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Remarques:

Remarques: 1. Ces notions ne sont valables que sur des intervalles.

2. On dit aussi que f est strictement croissante sur I si les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.

3. Strictement croissant ⇒ croissant.

Illustration graphique:

Fonction strictement croissante sur I Fonction strictement décroissante sur I uv ⇒ f uf v uv ⇒ f uf v

Tableau de variations d'un fonction

Tableau de variations d'un fonction  à partir de l'exemple : f : x _x²_–₂ , x∈ [–3;3] Une flèche qui « monte » représente une fonction strictement croissante, Une flèche qui « descend » représente une fonction strictement décroissante.

III. Maximum et minimum d'une fonction.

Définition  Maximum et minimum d'une fonction.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Dire que f a est un maximum de f sur I signifie que f a est la plus grande image possible pour un antécédent choisi dans I. En d'autres termes, pour tout réel x de I : f xf a

Remarques

Remarques  Il existe des fonctions sans maximum (c'est le cas de la fonction f : x _x²_–₂ lorsque l'on prend les antécédents dans ℝtout entier)

 La notion de maximum est lié à l'intervalle considéré.

Exercices

Exercices  Donner la définition du minimum d'une fonction sur un intervalle (s'il existe)

 Soit g la fonction définie sur par ℝ gx=x²–6x4. Prouver que –5 est un minimum pour g sur .ℝ

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IV. Fonctions affines et linéaires.

Définition  fonction affine et fonction linéaire.

Les fonctions f, définies sur , dont les images sont de la forme ℝ y=axb où a et b sont des constantes réelles sont appelées fonctions affines.

Elles se notent aussi : f : x axb. Deux cas particuliers:

Lorsque b=0, la fonction f : x ax est dite linéaire.

Lorsque a=0, la fonction f : x b est dite constante.

Exemples : Exemples :

f x=2x –3 . f^{est une}

fonction... f x=–1

4x^. f est une fonction ...

gx=–



2 . g est une fonction ...

Vocabulaire:

Le réel a s'appelle le coefficient directeur et le réel b s'appelle l'ordonnée à l'origine.

Courbe représentative des fonctions affines Courbe représentative des fonctions affines 

La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère est une droite Celle d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

Sens de variation d'une fonction affine Sens de variation d'une fonction affine 

Soit f : x axb une fonction affine.

Si a0 , alors f est strictement croissante sur .ℝ Si a0 , alors f est strictement décroissante sur .ℝ Démonstration :

Signe d'une fonction affine

Signe d'une fonction affine Il s'agit de déterminer le signe des images suivant les antécédents.

Si a0

antécédent

s x –∞ –b

a ^+∞

images f(x) – 0 +

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Si a0

antécédent

s x –∞ –b

a ^+∞

images f(x) + 0 –

Exemple Exemple  

Lecture graphique

Lecture graphique  coefficient directeur a et ordonnée à l'origine b d'une fonction affine f définie par f: x y=axb .