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Dans un repère orthonormé direct, on donne la droite :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths

[1 - 4]

Novembre 2012

Dans un repère orthonormé direct, on donne la droite :

2 3

: 2 4

x y z D x y z

⎧⎪⎨

⎪⎩

+ − = −

− + = −

Déterminer la distance d’un point M ( x y z ; ; ) à la droite D.

Analyse

On peut procéder de diverses façons et nous développons ici deux approches :

• Dans la première, nous utilisons la formule du cours.

• Dans la seconde, nous ramenons le problème à un problème plus simple : celui du calcul de la distance d’un point à une droite intersection de deux plans orthogonaux.

Résolution

1

ère

approche

Si nous notons d

(

M,D

)

la distance du point M à la droite D, nous avons classiquement :

(

M,

)

AM u

d D

u

= ∧

JJJJG G G

où A et uG

sont respectivement un point et un vecteur directeur de la droite D.

Pour obtenir A et uG

, nous pouvons, à partir du système d’équations cartésiennes de D, obtenir une représentation paramétrique de cette droite :

( ) ( )

2 3 4 2

2 3 2 3

2 4 4 2 4 2

1 11

3 1 3 1 3 3

4 2 3 1 1

4 2 4 2

3 3

x y x y z z

x y z x y z

x y z x y z x y z

y z x z

y z y z

x y z

x y z x z z y z

+ − − = − + − − −

⎧ + − = − + = − +

⎧ ⇔⎧ ⇔⎪

⎨ − + = − ⎨ − = − − ⎨⎪ − = − −

⎩ ⎩ ⎩

⎧ = + ⎧ = − −

⎧ ⎪ ⎪

= + = +

⎧ ⎪ ⎪ ⎪

⇔⎨⎩ = − + − ⇔⎨⎪⎩ = − + − ⇔⎨⎪⎪⎩ = − + + − ⇔⎨⎪⎪⎩ = +

(2)

PanaMaths

[2 - 4]

Novembre 2012

On a ainsi la représentation paramétrique suivante de D : 11

3 1 3

x z

y z z

z z

⎧ = − −

⎪⎪

⎪ = + ∈

⎨⎪

⎪ =

⎪⎩

\

On en déduit immédiatement que la droite D passe par le point 11 1

A ; ; 0

3 3

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et admet le vecteur uG

(

1 ; 1 ; 1

)

pour vecteur directeur.

On a alors 11 1

AM ; ;

3 3

x y z

⎛ + − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

JJJJG

et on obtient facilement : 1 3 AM 11

3 10

3 y z u x z

x y

− −

∧ − − − + + JJJJG G

D’où :

( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 2 2

1 11 10

AM 3 3 3

1 3 3 1 3 3 11 3 3 10

9

u y z x z x y

y z x z x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∧ =⎜⎝ − − ⎟⎠ + − − −⎜⎝ ⎟⎠ +⎜⎝ + + ⎟⎠

⎡ ⎤

= ⎣ − − + + + + + + ⎦

JJJJG G

En tenant compte de uG 2 = −

( )

1 2+ + =12 12 3, il vient finalement :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 2 2

1 3 3 1 3 3 11 3 3 10

AM 9

M, 3

1 3 3 1 3 3 11 3 3 10

27

y z x z x y

u

d D

u

y z x z x y

⎡ − − + + + + + + ⎤

∧ ⎣ ⎦

= =

⎡ ⎤

= ⎣ − − + + + + + + ⎦

JJJJG G G

Soit :

(

M,

)

1

(

3 3 1

) (

2 3 3 11

) (

2 3 3 10

)

2

d D =3 3 yz− + x+ z+ + x+ y+

(3)

PanaMaths

[3 - 4]

Novembre 2012 2

ème

approche

D’après l’énoncé, la droite D est l’intersection des plans

P

et

Q

d’équations respectives

2 3

x+ y− = −z et x− +y 2z= −4.

Nous allons ici chercher le plan

R

contenant D et orthogonal au plan

P

(nous aurions tout aussi bien pu choisir le plan

Q

).

Pour obtenir un vecteur normal au plan

R

, il nous suffit de considérer le vecteur uG G∧n où, rappelons-le, uG

est un vecteur directeur de D et où nG

est un vecteur normal du plan

P

.

On a vu ci-dessus que l’on avait uG

(

1 ; 1 ; 1

)

et d’après l’équation cartésienne de

P

dont

nous disposons, il vient immédiatement nG

(

1 ; 2 ; 1

)

.

Dans ces conditions :

3 0

3 u n

− G G

Le vecteur de coordonnées

(

1 ; 0 ; 1 est donc un vecteur normal au plan

) R

.

Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : x+ + =z α 0. Comme le point 11 1

A ; ; 0

3 3

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ appartient à

R

, nous avons : 11

0 0

3 α

− + + = , soit 11 α= 3 . 11 0

x+ +z 3 = est donc une équation cartésienne du plan

R

.

Les plans

P

et

R

étant orthogonaux, on a (théorème de Pythagore) :

( )

(

d M,D

)

2=

(

d

(

M,

P ) )

2+

(

d

(

M,

R ) )

2

Comme nous sommes dans un repère orthonormé, il vient immédiatement :

( )

( )

2

2 2

2 3 2 3

M,

1 2 1 6

x y z x y z

d + − + + − +

= =

+ + −

P

et

( )

2 2

11 11

3 3

M,

1 1 2

x z x z

d

+ + + +

= =

R

+ Alors :

( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

M, M, M,

11

2 3 3

6 2

2 3 3 3 11

6 18

d D d d

x z x y z

x y z x z

= +

⎛ + + ⎞

⎜ ⎟

+ − + ⎝ ⎠

= +

+ − + + +

= +

P R

(4)

PanaMaths

[4 - 4]

Novembre 2012

Soit :

( ) (

2 3

) (

2 3 3 11

)

2

M, 6 18

x y z x z

d D + − + + +

= +

On pourra, en comparant les carrés, vérifier que les deux expressions obtenues pour d

(

M,D

)

sont égales.

Résultat final

La distance d

(

M,D

)

d’un point M

(

x y z; ;

)

à la droite

2 3

: 2 4

x y z

D x y z

+ − = −

⎧⎨ − + = −

⎩ est égale à :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

M, 1 3 3 1 3 3 11 3 3 10

3 3

2 3 3 3 11

6 18

d D y z x z x y

x y z x z

= − − + + + + + +

+ − + + +

= +

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