Problème B : étude de la cissoïde droite

PSI* — 2020/2021 Pour le 22/01/2021.

D.M. 5

Problème A : matrices à coefficients positifs

On munit l’espace vectoriel Rⁿ (n≥2) de sa structure euclidienne canonique, c’est-à-dire du produit scalaire suivant :

si X=





 x1

x² ...

xn





 et Y =





 y1

y² ...

yn





 , (X|Y) =^tXY =

n i=1

xiyi .

On note B = (e1, . . . , en) la base canonique de Rⁿ, on sait qu’elle est orthonormale pour le produit scalaire précédent.

Dans la première partie, on donne deux exemples de matrices symétriques à coefficients positifs et on étudiera certaines de leurs propriétés ; la seconde partie traite plus généralement du cas des matrices symétriques à coefficients positifs.

Partie I

1) On note f l’endomorphisme deR³ dont la matrice dans la base canonique estM =





1 2 3 2 4 6 3 6 1



.

a)Existe-t-il une base orthonormale de R³ où la matrice de f est diagonale ?

Quelle est cette matrice diagonale ? (On ne déterminera pas la base orthonormale.)

b)On classe les valeurs propres def : λ1≤λ2 ≤λ3, on noteB^′= (e^′1, e^′2, e^′3)une base orthonormale de vecteurs propres pour f, associés respectivement àλ1, λ2, λ3 (on ne déterminera pas ces vecteurs).

Pour tout vecteur X deR³,X=

3 i=1

x^′_i.e^′_i, évaluer le produit scalaire f(X)|X . Montrer que, pour tout vecteur X unitaire deR³ ( X = 1), on a :

λ¹ ≤ f(X)|X ≤λ³.

2) On notef l’endomorphisme deRⁿ dont la matrice dans la base canonique estM = min (i, j) _1≤i,j≤n (min (i, j)est le plus petit des entiers i, j).

a)Montrer qu’il existe une matrice triangulaire supérieure T, dont les coefficients sont des “1” ou des

“0”, telle queM =^tT T. b)Calculer le déterminant de M.

c)Montrer que : ∀X∈Rⁿ f(X)|X ≥0.

d)En déduire que les valeurs propres de f (ou de M) sont des réels strictement positifs.

Partie II

Soit f un endomorphisme de Rⁿ, qui est non nul et symétrique (autoadjoint), c’est-à-dire

∀(X, Y)∈Rⁿ×Rⁿ f(X)|Y = X|f(Y) . On note M la matrice de f dans la base canonique deRⁿ etM = (mi,j)_1≤i,j≤n.

1) a)Rappeler brièvement pourquoi l’on sait que M est une matrice symétrique et que son polynôme caractéristique a toutes ses racines réelles. On les note λ1≤λ2 ≤ · · · ≤λn.

b)Soit X un vecteur deRⁿde norme 1, montrer :

∗ λ1 ≤ f(X)|X ≤λn.

∗ f(X)|X =λ1 ⇔f(X) =λ1.X.

∗ f(X)|X =λn⇔f(X) =λn.X.

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2) On suppose dorénavant que la matriceM a tous ses coefficients strictement positifs (mi,j >0).

a)Soit U un vecteur unitaire ( U = 1) qui est vecteur propre def pour la valeur propreλn, on note U = ⁿ

i=1

ui.ei et U^′= ⁿ

i=1

|ui|.ei .

(i)Donner l’expression de f(U)|U en fonction des coefficients mi,j deM et des composantesui

deU, en déduire

f(U)|U ≤ f U^′ |U^′ , puis

f U^′ =λn.U^′.

(ii)En comparant les expressions f(U)|U et f(U^′)|U^′ , montrer que les composantes deU sont toutes de même signe (∀i∈ {1..n} ui≥0 ou ∀i∈ {1..n} ui≤0).

En déduire que la dimension du sous-espace propre associé à λn est égale à 1 (on pourra éventuelle- ment raisonner par l’absurde).

b)Soit λk une valeur propre def différente deλn etY un vecteur propre associé à cette valeur propre λk et de norme 1. On note

Y =

n i=1

yi.ei et Y^′ =

n i=1

|yi|.ei .

(i)Établir :

f(Y)|Y ≤ f Y^′ |Y^′ , puis

|λk| ≤λn.

(ii)Calculer f(U^′)|Y , en déduire que les composantes y1, y2, . . . , yn de Y ne sont pas toutes de même signe et qu’on a

f(Y)|Y < f Y^′ |Y^′ , puis

|λk|< λn.

Problème B : étude de la cissoïde droite

Dans tout le problème, on se place dans un plan euclidien orienté, muni d’un repère orthonormal direct O;i, j . a désigne un réel strictement positif fixé.

On désigne parD la droite d’équation x= 2aet par C le cercle de centre M0(−a,0), de rayona.

Pour tout nombre réel t, on désignera par :

•H(t) le point d’intersection, lorsqu’il existe, de la droite d’équationy =tx et de la droiteD.

•M(t) le point d’intersection de la droite d’équationy=tx et du cercle C (avec la convention que, lorsqu’il y a deux points d’intersection,M(t) désigne le point d’intersection distinct deO).

1) Donner une équation cartésienne du cercle C.

2) Déterminer les coordonnées deM(t) etH(t), puis du milieuJ(t) du segment[M(t), H(t)].

3) Déterminer le vecteur dérivé à la courbe t → J(t), puis en déduire les points stationnaires (c’est- à-dire non réguliers) de celle-ci et calculer le second vecteur dérivé au point de paramètre t = 0.

En déduire que la tangente à la courbe t→J(t) au point J(t0) a pour équation t0 t²0+ 3 x−2y=at³0.

4) Dresser le tableau des variations des coordonnéesx(t), y(t) du point J(t) pour t∈R⁺ et représenter sur une même figure la droite D, le cercleC et le support de cette courbe t→J(t).

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5) Donner enfin une équation cartésienne du support de la courbe t→J(t).

6) Alignement de points sur la cissoïde droite

a)Montrer que trois points de coordonnées (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) sont alignés si et seulement si x1 y1 1

x2 y2 1 x3 y3 1

= 0.

b)Factoriser le déterminant suivant, où t1, t2, t3 désignent trois nombres réels donnés :

D(t1, t2, t3) =

at²1 at³1 1 +t²1

at²2 at³2 1 +t²2

at²3 at³3 1 +t²3

.

En déduire à quelle condition nécessaire et suffisante portant sur t1, t2, t3 trois points distincts de paramètres t1, t2, t3 appartenant au support de la courbet→J(t) sont alignés.

c)On suppose que la droite passant par J(t0) et J(t0+ε) recoupe le support de la courbe t→J(t) en un point dont on note le paramètre t(ε). Exprimer t(ε) à l’aide de t0 et ε et préciser la limite de t(ε) lorsque εtend vers 0. En déduire que la tangente enJ(t⁰) à la courbet→J(t) recoupe le support de celle-ci en J(−t0/2)et que les tangentes en trois points alignés recoupent le support de la courbe en trois points alignés.

Loi des idées révolutionnaires de Clarke

Toute idée révolutionnaire

– en science, politique, art, ou n’importe quoi d’autre – provoque une réaction en trois étapes :

1. « C’est complètement impossible. »

2. « C’est possible, mais ça n’en vaut pas la peine. » 3. « J’ai toujours dit que c’était une bonne idée. »

Deuxième loi de Clarke

Le seul moyen de découvrir les limites du possible est d’aller au-delà dans l’impossible.

Troisième loi de Clarke

Toute technologie suffisamment avancée est indiscernable de la magie.

Corollaire de Hargreave

Toute technologie qu’on peut distinguer de la magie n’est pas sufisamment avancée.

Extension de Pratchett

Toute magie suffisamment avancée est indiscernable de la technologie.