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b) En déduire que R1 0 lny y2−1dy=P∞ k=0 1 (2k+1)2

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Academic year: 2022

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(1)

Université de Bretagne Occidentale L3 EURIA - Intégration

Contrôle continu N3 - 5/12/2017

I. Questions de cours.

a) Ennoncer le théorème de convergence dominée sur un espace mesuré (X,T, µ).

b) En déduire la limte lorsquen tend vers l'inni de Rπ 0

(sin√x)n x dx

II.

a) Soit k∈N. Calculer l'intégraleZ 1 0

y2kln(y)dy. b) En déduire que R1

0 lny

y2−1dy=P∞ k=0

1 (2k+1)2.

On pourra utiliser le développement en série entière suivant, valable pour|x|<1, 1−x1 =P∞

k=0xk.

III.a) SoitAetB deux sous-ensembles boréliens de[0,1]tels queλ(A)> 12 etλ(B)> 12. Montrer que A∩B est non vide.

b) On considère trois sous-ensembles boréliensA,BetCtous de mesure de Lebesgue strictement supérieure à 2/3. Montrer que A∩B ∩C est non vide.

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" L " " " " 1jC 1C R 1jC 1tan + 1 R L R + jL " 0 % ( B B B u u u u u u u v v 1C 0 x y y x y x y 1 2 # L " 0 () () R + R 2 + j.L # $ " () ' * 1C 0 " 2 2 2 R " " .L " " + R " 0 0 2 0 # & ) # $ 0 0 # 0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

• Cette équation étant valable pour tout régime sinusoïdal, elle est aussi valable pour tout régime variable ; on peut par précaution vérifier que le régime

2 () k mgk mM 2 k "# k 2 " x 0 4 " MT 2 1 2 Mk mK 2 2 " " 2 k k + k T " X 1 1 0 2 0 0 m ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

6 [3ε sin(3ωt) sin 2 (ωt)] qui ne pouvait qu'être d'ordre supérieur à celui du présent calcul (pour les mêmes raisons) ; il est toutefois intéres- sant de

2 0 1 6 - 2 0 2 1 M A N I T O B A C A N C E R P L A N

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