Distance d’un point à une droite. Calculer la distance entre le point

(1)

Distance d’un point à une droite.

Calculer la distance entre le point P :( –8,7,3) et la droite d qui est perpendiculaire au plan

  3x – 6y + z = 12 et qui passe par le point Q : (5,6,4)

1^ère méthode.

Plan ’ // à  et passant par P :

   

' 3 6 or ' 3 8 6 7 3 63

' 3 6 63

x y z d P d d

x y z

             

       Droite d :

5 3 6 6 4

x s

d y s

z s

  

  

  



Point de percée P’ de la droite d dans le plan ’

     

' ' ' 3 5 3 6 6 6 4 63 1 ' : 2,12,5

P    d  s   s        s s P Distance de P à d

 ,   , ' ^2 8^² ^12 7^² ^3 3^² 5 5 d P d d P P       

2ème méthode

Soient deux points quelconques de d : Q: 5, 6, 4 et : 8, 0,5  A  

On a :

     

 

: 13, 1,1 ; : 16, 7, 2 ; : 5, 10, 75 ; 5750 : 3, 6,1 ; 46

PQ PA PQ PA PQ PA

QA QA

      

 

La distance est donnée par :

 ,  ⁵⁷⁵⁰ 5 5

46 PQ PA

d P d

QA

   

3ème méthode

Le vecteur directeur unitaire de d est 3, 6,1

1 :^v^d 46



On a aussi : PQ: 13, 1,1 ;   PQ 171 La distance est donnée par

  ²

 

² ^^6, 6,1 13, 1,1^ ^^

, 1 . 171 5 5

46

vq

d P d PQ PQ  

    