FONCTIONS DE RÉFÉRENCE. Rappel

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE.

Rappel : soit f une fonction définie sur un intervalle I.

f est croissante sur I si pour tous réels a et b de I, si a b, alors f (a ) f( b).

f est décroissante sur I si pour tous réels a et b de I, si a b , alors f (a ) f( b).

I. Fonctions affines.

Les fonctions affines sont définies sur par f( x) ax b où a et b sont des réels.

1. Sens de variation.

Si a est positif, f est croissante sur . Si a est négatif, f est décroissante sur .

Si a 0, alors f (x ) b pour tout x de , donc f est constante sur . 2. Représentation graphique.

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. a est appelé le coefficient directeur de la droite et b l'ordonnée à l'origine.

Lorsque b 0, la droite passe par l'origine du repère.

II. La fonction “carré”.

La fonction carré est la fonction f définie sur par f (x ) x².

1. Ensemble de définition.

L'ensemble de définition de la fonction carrée est . 2. Tableau de variation.

x −  0 +  f(x)

0

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Deux nombres négatifs sont rangés dans l ordre inverse de leurs carrés.

Application : Comparer A 4 2 2 et B 1 2 .

3. Représentation graphique.

La représentation graphique de la fonction carré est la parabole

d équation y x², de sommet O(0 0).

III. La fonction inverse.

La fonction “inverse” est la fonction k définie par k (x ) x 1 .

1. Ensemble de définition

k( x) est défini pour x  0 . L'ensemble de définition de k est donc *.

2. Tableau de variation.

La fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. Pas sur *.

Deux nombres de même signe sont rangés dans l ordre contraire de leurs inverses.

3. Représentation graphique.

Cette courbe est une hyperbole

Elle est symétrique par rapport à l'origine.

IV. La fonction racine carrée.

Soit a un réel positif. Le nombre a est l unique réel positif dont le carré est a.

La fonction racine carrée est la fonction f définie par f( x) x . 1. Ensemble de définition.

L ensemble de définition de la fonction racine carrée est ………..

2. Sens de variation.

3. Représentation graphique.

x −  0 +  k(x)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1 2 3 4

0 1

1

x y

4. Comparaison de x, x² et x pour x positif.

Sur l intervalle [0 ; + [, les fonctions f : x x, g : x x ² et h : x x ont le même tableau de variation :

x f(x) g(x ) h(x)

a. Graphiquement.

b. Démonstration.

On a donc :

Théorème : Soit x un réel positif.

V. La fonction valeur absolue.

1. Définition.

Définition : Pour tout nombre x, la valeur absolue de x est égale à x si x est positif, à ( x) si x est négatif.

Elle se note | | ^x . On a donc :

.

Exemples : | | ^{3 = ……….;} | | 4 = ……… ; | | 0 = ….

Remarques : Pour tout réel x : | | x | ^x |

| | ^{x = 0 ssi x 0}

La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur par f (x) | | x . 2. Sens de variation.

| | ^{x =} _ ^{ } x lorsque x 0

x lorsque x <0 . La fonction valeur absolue est ………...

Sur l intervalle ] ; 0], f est égale à la fonction affine x x. Cette fonction est ……….

Sur l intervalle ] ; 0], f est égale à la fonction affine x x. Cette fonction est ………..…..

On a donc le tableau de variation suivant :

3. Représentation graphique.

Dans un repère orthonormal, la courbe de la fonction valeur absolue est ……….

VI. Applications.

Application 1 : f est définie sur par f ( x) (x 1)

3 . 1) Conjecturer le tableau de variation de f sur . 2) Prouver votre conjecture en justifiant chaque étape.

Application 2 : x est un réel tel que 2 x 0. Encadrer 1

5 x² en justifiant chaque étape.

FONCTIONS ASSOCIÉES ET SENS DE VARIATION.

Dans ce chapitre, u est une fonction définie sur une partie D de et monotone sur un intervalle I de et k est un réel.

I. Fonctions u k.

La fonction u k est la fonction définie sur par ( u k )(x ) u( x) k.

Exemple : Soit u la fonction définie sur par u( x) 2 x² 1.

La fonction u 2 est définie sur par ( u 2)(x ) ……….

Propriété (admise): Les fonctions u et u k ont ………...

II. Fonctions ku.

La fonction ku est la fonction définie sur D par (ku)( x) k u ( x).

Exemple : Soit u la fonction définie sur par u( x) 2 x² 1.

La fonction 3u est définie sur par (u 2)( x) ………..

Propriété (admise):

Si k 0, les fonctions u et ku ont ………

Si k 0, les fonctions u et ku ont ………..

Exemple : Soit f la fonction définie sur par f( x) x 2. Déterminer le sens de variation de f sur +.

III. Fonctions 1 u . La fonction 1

u est la fonction définie sur D par

 

  1

u (x ) 1

u (x ) . C est la fonction inverse de u .

Propriété (admise):

Si u(x ) garde le même signe et ne s annule pas sur l intervalle I, alors les fonctions u et 1

u ………

Exemple : Soit f la fonction définie sur par f( x) 1

x² 4 . Déterminer le tableau de variation de f .

IV. Fonctions u .

La fonction u est la fonction définie sur D par u (x) u (x) .

Propriété (admise):

Si u(x ) est positif sur l intervalle I , alors les fonctions u et u ………

Exemple 1 : Voici le tableau de variation d une fonction f. Compléter les tableaux suivants.

x 4 1 2 3 6 9 f(x)

5 8 0 0

3 4 f 2

3f

4f

1 f

f

Exemple 2 : Soit f la fonction définie sur par f (x ) x² 4 . Déterminer le sens de variation de f sur son

ensemble de définition.