Chapitre n°4: Fonctions de référence et sens devariation.

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1/31 - Chapitre n°4 : Fonctions de référence et sens de variation

Chapitre n°4: Fonctions de référence et sens de variation.

Objectifs.

O7. Fonctions de référence racine carrée et valeur absolue : Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique.[Aucune technicité dans l'utilisation de la valeur absolue n'est attendue]

Démonstrations : Démontrer la croissance de la fonction racine carrée – Justifier les positions relatives des fonctions identité, carrée et racine carrée

O8. Sens de variation des fonctions u+k, u, √^u^{, et} _u¹ , u étant une fonction connue : Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. [l'étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme]

[Démonstration : à l'aide de contre-exemples, montrer que l'on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions]

Durée approximative : 7 cours.

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Cours n°1

Chapitre n°4: Fonctions de référence et sens de variation.

I) Rappels : sens de variation d'une fonction

Définition n°1 : croissante ou décroissante.

On dit qu'une fonction f est croissante sur intervalle I si, quand on choisit deux nombres x1 et x₂ tels que x₁<x₂ , alors

f(x₁) ... f(x₂) (l'image du nombre le plus grand est plus …... que l'image du nombre le plus petit) : x₁ et x2 sont dans le m... o... que f(x1 ) et f(x2).

On dit qu'une fonction f est décroissante sur intervalle I si, quand on choisit deux nombres x1 et x2 tels que x1<x₂ , alors

f(x₁ ) ... f(x2) (l'image du nombre le plus grand est plus …... que l'image du nombre le plus petit). x₁ et x2 sont dans l'o... i... de f(x1) et f(x2).

Remarque :

Lorsque la fonction f est croissante sur I , on dit que la fonction conserve l'ordre. Lorsque la fonction f est décroissante sur I , on dit que la fonction renverse l'ordre.

II) Fonctions de référence déjà connues

a. la fonction carrée.

x –

∞ 0 +∞

f(x) = x²

b. les fonctions affines

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a>0 :

x –

∞ +∞

f(x) = ax+b

a<0 :

x –

∞ +∞

f(x) = ax+b

c. la fonction inverse

x –

∞ 0 +∞

f(x) = 1 x

Exemple n°1

Démontrez que pour tout x ∈^]1;+∞[, ¹

x² <1.

…...

...

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Activité d'approche n°1

1) Rappeler la définition d’une fonction f croissante sur un intervalle I et la définition d’une fonction f décroissante sur I.

2) Soit la fonction f définie sur [0;+∞[ par : f(x) =√^x^.

a- Construire la représentation graphique de f sur l’écran de la calculatrice.

Conjecturer le sens de variation de f sur [0;+∞[ .

b- Démontrer que, quels que soient les réels a et b tels que 0  a < b on a :

f(b) – f(a) = b−a

√^a⁺√^b

En déduire le sens de variation de f sur [0;+∞[ . Dresser son tableau de variations.

3*) Comparaison de x, √^x et x²(pour x positif).

Représenter graphiquement sur [0;+∞[ les fonctions : f : x √ ^x, g : x x, et h : x x².

Conjecturer la position relative de ces trois courbes.

Démontrer les conjectures à l’aide d’un raisonnement par disjonction de cas.

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Cours n°2

III) Fonction racine carrée Propriété n°1

La fonction f : x √x est définie sur

…...

La fonction f : x √^x est

…... (strictement) sur [0;+∞[.

Démonstration : voir activité précédente.

Exemple n°2 :

Démontrez que pour tout réel x ∈]1;+∞[,

√ ^x ^x.

…...

...

Exercice n°1

Ex.14 et 15 p.42 (Indice 2011) Exercice n°2

Ex.62 p.45 (Indice 2011)

x y

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Cours n°3

IV) Comparaison de x , x ², et de √^x

Propriété n°2

Soit x un nombre positif.

Alors, si x1, …...

Sinon …...

Démonstration (multiplication par ₎x...

Cas 0x1 :

…...

...

Cas 1x :

…...

...

Exercice n°3

Ex.73 p.46 (Indice 2011) Exercice n°4

Ex.74 p.46 (Indice 2011)

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Activité d'approche n°2

Voici un algorithme :

1. Faire fonctionner cet algorithme pour les nombres 2, 3, –3, –1,8 et 5 3 .

…...

...

2. On définit la fonction valeur absolue qui, à tout nombre réel x, associe l’image de x par cet algorithme. On

note cette image |x| .

Définir, en langage mathématique, cette nouvelle fonction et représenter sa courbe associée dans un repère orthonormé.

y

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…...

…...

...

…...

...

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Cours n°4

V)

La fonction valeur absolue

Définition n°2 : valeur absolue

Pour tout réel x, la valeur absolue de x, notée |x| , est égale à ….... si x est négatif, et ….. sinon :

|x| = {^....^.... ^{si x>}^{si x⩽0}⁰

La fonction valeur absolue est

strictement ... sur ] –∞ ; 0].

La fonction valeur absolue est

strictement ... sur [0 ; +∞ [

Démonstration :

Sur ] –∞ ; 0 ], la fonction valeur absolue vaut –x …...

…...

...

Remarque :

x y

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…...

...

Exercice n°5

Ex.52 p.44 (Indice 2011) Exercice n°9*

Ex.35 p.43 (Indice 2011)

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Cours n°5

VI) fonctions de fonctions de référence.

Dans la suite :

u est une fonction définie sur un intervalle I.

k est la fonction constante : pour tout nombre réel, k(x)=c.

On peut alors définir les fonctions sur l'intervalle I : u + k : x u(x) + k(x)

ku : x k(x)×u(x).

Les fonctions u et u+k ont le …... sens de variation.

Les fonction u et ku ont :

- le …... sens de variation si c>0.

- des sens de variation …... si c<0.

Démonstration

...

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...

Exercice n°11*

Ex.90 p.47 (Indice 2011) Contrôle n°2

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Cours n°6

On suppose que, pour tout nombre réel x de l'intervalle de définition de u,u(x)0.

Alors, les fonctions u et √^u ont …... sens de variation.

On suppose que, pour tout nombre réel x de l'intervalle de définition de u,u(x) ne change pas de signe et ne s'annule pas.

Alors les fonctions u et 1

u ont des sens de variation …... sur l'intervalle de définition de u.

Exemple n°5

Soit f la fonction définie par f(x)= 1

3+x² . Déterminez le tableau de variation de f.

...

Exercice n°13*

Ex.107 p.49 (Indice 2011)

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Cours n°7

VII) Et le sens de variation de la somme ou du produit de fonctions ?

Exemple n°6

Soient les cinq fonctions suivantes, définies sur R : f(x) = –2x+3 ; g(x) = 3x ;

h(x) = 3

x² ; k(x) = 7+x et j(x) = 7x²

Déterminez le sens de variation de f + g, et de f + k :

...

Peut-on établir une règle générale pour le sens de variation de la somme de deux fonctions, connaissant le sens de variation de chaque fonctions ?

...

Déterminez le sens de variation de h × g, et de j × g :

...

Peut-on établir une règle générale pour le sens de variation de la somme de

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1: 2√^x 3 ; f(0,998)<f(0,999) Ex.2 :

Ex.3 : 1. Si 0x1, 1

x x. Si x>1, 1

x <x. 2. Cg est au dessus de Cf si 0x1, en dessous si x>1.

Ex.4 : 1. Si 0x1, x³x²x, et si x>1, x³>x²>x 2. Si 0x1, C_h est en dessous de C_g qui est en dessous de C_f. Si x>1, C_h est au dessus de C_g qui est au dessus de C_f.

Ex.5 : 1. 0,5;8; 8 9 ^;10

-2;10^-3- 10^-4;10⁴ – 10³. 2. 3 et -3 3. Non.

Ex.6 : a. -2 et 2 b. S=∅ c. 1 et -1

Ex.7 : 1. -1 et 3

-1 0 1 2 3 4 5

4 3 2 1

y

x

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3. 29f(x)95 4. -3f(x)95

Ex.11 : a. b. c.

x – ∞ 0 + ∞

h(x) + ∞ 2

+ ∞

x – ∞ 0 + ∞

g(x) – ∞

–4 – ∞

x – ∞ 0 + ∞

f(x) + ∞ 0

+∞

Ex.12 : 1. [3;+∞[ 2. décroissante.

Ex.13 : strictement croissante sur [0;5], → 4

3 f(x)12

Ex.14 : 1. strictement décroissante sur ]4;+∞[ et strictement positive. 2. croissante sur ]4;+∞[

: Ex.15

Ex.16 : 2. a=2a. si x1,^H est au dessus de D . 3.a. La droite d'équation y=x.Si m=1, pas de solution. Si m > 1, deux solutions.

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-3 -2 -1 0 1 2 3

8 7 6 5 4 3 2 1

y

x

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travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :