La représentation graphique d’une fonction du premier degré est une droite.

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EQUATIONS DE DROITES Introduction :

Dans le chapitre précédent, nous avons déjà constaté qu’il existait un lien relativement étroit entre les droites et les fonctions du premier degré.

La représentation graphique d’une fonction du premier degré est une droite.

Mais, nous savons déjà que toute droite n’est pas la représentation d’une fonction.

En effet, les droites « verticales » posent problème.

Ce chapitre a pour but de nous permettre de déterminer l’équation d’une droite quelle qu’elle soit.

Il s’agit donc de mettre en place des stratégies afin de déterminer le coefficient de la droite considérée ainsi que son terme indépendant, c’est-à-dire les fameux nombres « m » et « p ».

Nous devons également résoudre le « problème » de nos droites verticales !!!

Enfin, nous tenterons d’obtenir une équation générale englobant les différents cas.

I. Activités :

• Soient les droites d et d’ d’équations respectives y

x

et

3 2

x y

. Tracer ces deux droites sur la calculatrice et placer les points suivants :

A( 1 ; -1 ) ; B( 3 ; -2 ) ; C( 2 ; -4 ) ; D( -3 ; 2 ) ;E (

; 4 7 6 −

) et F ( -2 ; 3 ) Quels sont les points appartenant à d ?

Quels sont ceux appartenant à d’ ?

Vérifier chacun de ces résultats à l’aide d’un calcul.

• Soit la droite « d » définie par les points O ( 0 ; 0 ) et A ( -2 ; 3 ).Tracer cette droite sur la calculatrice. Placer un point M sur cette droite, demander l’affichage des coordonnées (a ;b) de ce point M. Demander à la calculatrice de calculer le quotient b

a . Déplacer le point M sur la droite d. Observer l’affichage des coordonnées du point M et l’affichage du quotient b

a . Que constate-t-on pour le quotient b

a ? Tenter d’expliquer

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ƒ Soit la droite d d’équation y = 3 4 x+2

Compléter le tableau de nombres et porter sur l’axe qui convient les résultats obtenus :

Calculer les « accroissements des abscisses » ( notés ∆x ) et les « accroissements des ordonnées » ( notés ∆y ) :

de A à B de B à D de C à E.

∆x=

∆y=

Calculer les rapports entre l’accroissement des ordonnées et celui des abscisses de A à B, ∆y

∆x = de B à D ∆y

∆x = et de C à E ∆y

∆x =

Les comparer. A quoi correspondent-ils ?

ƒ Soit la droite d’équation y = -2x + 1.

Calculer les coordonnées du point : - A intersection de d avec l’axe X - B intersection de d avec l’axe Y.

Tracer cette droite sur la calculatrice et vérifier les résultats trouvés. Faire de même pour les droites

4

' 3

x

y

d

et d

y

.

3

II. Vocabulaire et notations

Considérons la fonction f : x → m x + p ( m

IR et p

IR ) ; la représentation graphique de cette fonction est une droite.

Une équation de cette droite s’écrit sous la forme y = m x + p.

Cette égalité exprime le lien qui existe entre l’abscisse et l’ordonnée de n’importe quel point de cette droite.

On note d

y

mx

p et on lit « d a pour équation y = m x + p ».

Dans l’équation y = m x + p d’une droite, m est appelé le coefficient angulaire ou coefficient directeur de d ; et p est appelé l’ordonnée à l’origine de d

L’ordonnée à l’origine p est l’ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse 0 ( x=0) En effet si x=0 y= m×0+p=p

La racine ( ou le zéro ) de la fonction f : x → m x + p ( m ≠ 0 ) est le réel dont l’image par f est nulle. C’est aussi la solution de l’équation 0 = m x + p.

Il vient m x + p = 0 et m ≠ 0 ⇔ x = m

−

p

Ce réel est aussi l’abscisse du point d’intersection de la droite d avec l’axe X.

Exemple :

Propriétés :

Un point appartient à une droite ssi ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci.

)

; ( x

y

A est un point de d

y

mx

p ssi y

= mx

+ p

Si f est une fonction linéaire et si P est un point de son graphique, distinct de ( 0 ; 0 ), alors le rapport entre l’ordonnée et l’abscisse de P est une constante. Il correspond au coefficient de direction de la droite représentant cette fonction dans un repère cartésien du plan.

Soit d

y

mx et soit P(a ; b) ∈ d , alors

a

m

b

4

Si f est une fonction du premier degré, si A et B sont deux points de son graphique alors le rapport entre la différence des ordonnées des deux points et la différence de leurs abscisses est une constante.

Ce rapport est le coefficient directeur de la droite représentant cette fonction dans un repère cartésien du plan.

Soit d

y

mx

p ; soient A ( x

, y

) et B ( x

, y

) deux points de cette droite

A B

A B

x x

y y x m y

−

= −

∆

= ∆

A (x

, y

) ∈ (D) ⇔ y

=mx

+p B (x

,y

) ∈ (D) ⇔ y

=mx

+p

y

-y

= mx

+p – (mx

+p ) = mx

– mx

= m (x

– x

) d’où m = y

-y

x

-x

y

-y

m= 2 1 =2

x

-x

p=-3

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III. Détermination de l’équation d’une droite :

1. Equation d’une droite dont on donne le coefficient directeur et un point :

Le coefficient de la droite est « m » et cette droite comprend le point A ( x

, y

) .

L’équation générale est donc y = mx + p , le point A est un point de la droite, ses coordonnées vérifient donc l’équation de celle-ci.

A A A

A

mx p p y mx

y = + ⇔ = − tous les éléments de cette expression sont connus ; p est alors déterminé.

Il vient : y = mx + y

− mx

⇔ y − y

= mx − mx

⇔ y − y

= m ( x − x

)

Ce qui nous donne une autre forme de l’équation d’une droite de coefficient directeur connu et dont on connaît également un point.

Exemple :

Déterminer une équation de la droite d passant par A(-5 ;2) et de coefficient directeur -1

2. Equation d’une droite dont on donne deux points distincts :

Soient A ( x

, y

) et B ( x

, y

) deux points de la droite recherchée.

Pour déterminer le coefficient directeur, il suffit d’appliquer la formule établie précédemment.

Ensuite, on utilise les coordonnées de l’un des deux points pour calculer la valeur de p.

On obtient alors une équation de la forme :

)

(

A B

A B

A

x x

x x

y y y

y −

−

= −

− .

Exemple :

Déterminer une équation de la droite d passant par A(5 ;1) et B(-1 ;3)

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IV. Droites parallèles, droites perpendiculaires

Si deux droites ont même coefficient angulaire, alors elles sont parallèles et réciproquement.

Dans un repère cartésien du plan, d

et d

étant deux droites de coefficients respectifs m

et m

:

d

// d

⇔ m

= m

Dans un repère orthonormé d’un plan cartésien, d

et d

étant deux droites non parallèles aux axes et de coefficients respectifs m

et m

:

2 1 2 1

1

m m d

d

Exercices :

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par A(-1 ;4) et parallèle à la droite d’équation y= -3x+5

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D’) passant par A(1 ;2) et perpendiculaire à la droite (D) d’équation : y=-4x+5

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V. Equations du premier degré à deux inconnues : 1. Activités

a) Parmi les couples suivants, lesquels vérifient l’équation x

y

? ( -3 ; 8 ) ; ( 0 ; -5 ) ; ( 2 ; 4 ) ; ( 9 ; -4 ) ; ( 12 ; -6 ).

b) Pour les valeurs de a, b et c données dans le tableau ci-après, écrire l’équation

=0 + +

by c

ax sous la forme y = mx + p ou x = k n° a b c n° a b c n° a b c n° a b c

1 -2 1 0 3 3 1 0 5 0 1 -2 7 1 0 -3 2 -2 1 3 4 3 1 -1 6 0 2 4 8 0 3 0

Représenter dans un plan cartésien chacun des graphiques .Que peut-on dire de ces droites ?

c) Dans un repère orthonormé du plan, construire les droites dont les équations sont :

0 3 2 2

0 5 2

0 3 2

3 2 1

= + +

−

≡

=

− +

≡

= + +

≡

y x d

y x d

y x d

2. Vocabulaire et notations :

Une équation du premier degré à deux inconnues est une équation du type (ou se ramenant à une équation du type ) ax

by

c

où :

x et y sont les deux inconnues

a et b sont des réels non simultanément nuls c est un réel.

Jusqu’à présent, nous avons étudié les droites d’équation y = mx + p . Elles ne sont pas parallèles à l’axe Y. Il nous reste donc à « trouver » l’équation des droites parallèles à l’axe Y, et, ainsi, l’équation générale de toute droite !

• Dans un plan cartésien, ax

by

c

, a et b non simultanément nuls, est l’équation d’une droite.

En effet :

si b = 0 ( alors a ≠ 0 ) et l’équation devient ax

y

c

; ce qui peut s’écrire sous la forme

a x

c

=

. Par conséquent, tout point d’abscisse a

−

c

et d’ordonnée quelconque

appartient à une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

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si b ≠ 0 l’équation ax

by

c

peut s’écrire sous les formes suivantes :

b x c b y a

c ax by

− −

=

−

−

=

c’est une équation du type y = mx + p qui est l’équation d’une droite.

Remarques :

dans le cas b = 0 ; les droites sont parallèles à l’axe Y et ont une équation du type x = k . Elles n’ont pas de coefficient directeur et ne sont pas le graphique d’une fonction.

dans les cas a = 0 ; les droites sont parallèles à l’axe X et ont une équation du type y

r . Leur coefficient directeur est nul et elles représentent le graphique d’une fonction constante.

• Dans un plan cartésien, toute droite d a pour équation ax

by

c

( a et b étant non simultanément nuls ).

Si la droite est parallèle à l’axe Y : il suffit de prendre b = 0 ; a réel non nul et c réel quelconque. Dans ce cas l’équation de d est du type ax +0y+ c = 0 .

Si la droite n’est pas parallèle à l’axe Y : on sait que dans ce cas elle est le graphique d’une fonction du premier degré x → m x + p ( m

R , p

R ) . Et nous avons l’équivalence suivante :

=0 +

−

⇔ +

=

mx p mx y p y

Cette dernière équation est du type ax

by

c

avec a = m , b = -1 et c = p

• Une équation du premier degré à deux inconnues admet une infinité de solutions

à savoir l’ensemble des couples qui sont les coordonnées des points de la droite

d’équation ax

by

c

.