Une fonction polynôme de degré 3 Le moteur de recherche de Google permet de tracer la représentation graphique de n’importe quelle fonction.

Une fonction polynôme de degré 3 Le moteur de recherche de Google permet de tracer la représentation graphique de n’importe quelle fonction.

On a représenté ci-contre une copie d’écran après avoir rentré dans la barre de recherche l’expression du polynôme de degré 3 : ^{f x}   ^{ x}

^

^{x }

.

Etude de la fonction

Démontrer que l’équation

 

f x  admet trois solutions : une solution x

située dans l’intervalle

 ^{ }

 , une solution x

située dans l’intervalle

 ^

 et une solution x

située dans l’intervalle  

Je calcule la dérivée de la fonction.

 







f x  x   x x

donc je peux affirmer que

 

et dresser le tableau de signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction. Voir tableau proposé ci-dessus.

Sur l’intervalle  ^{ }

 ^{on a :}

 

^,

 

^{, f} strictement croissante car sa dérivée est positive et f continue car il s’agit d’un polynôme de degré 3. Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire me permet d’affirmer que l’équation

 

admet une unique solution.

Sur l’intervalle  ^

 ^{on a :}

 

,

 

, f strictement décroissante car sa dérivée est négative et f continue car il s’agit d’un polynôme de degré 3. Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire me permet d’affirmer que l’équation

 

admet une unique solution.

Sur l’intervalle  

^{on a :}

 

^,

 

^{, f} strictement croissante car sa dérivée est

positive et f continue car il s’agit d’un polynôme de degré 3. Dans ces conditions, le théorème de la valeur

intermédiaire me permet d’affirmer que l’équation

 

admet une unique solution.

Travaux pratiques Page 2

On propose ci-dessous les lignes de programmation d’un algorithme. Le but est de déterminer à quoi sert cet algorithme, de décrire précisément son fonctionnement, puis de l’utiliser.

Localisation de la première solution comprise entre -2 et -1

Localisation de la deuxième solution comprise entre 0 et 1

Localisation de la troisième solution comprise entre 1 et 2

Amplitude de l’encadrement

En sept étapes, quelle est l’amplitude d’encadrement de la solution que l’on réussit à obtenir ? On obtient un encadrement d’amplitude 0,0078125 (premier encadrement en dessous du centième) qui correspond à la fraction suivante

2

. En effet, l’amplitude des intervalles successifs déterminés par la méthode de dichotomie suivent une progression géométrique de raison 0,5.

Modification de l’algorithme

Reprendre et modifier l’algorithme précédent afin d’obtenir, à une amplitude donnée, un

encadrement de la racine d’une fonction. On contrôlera la validité de cet algorithme en le faisant

tourner pour obtenir un encadrement au millième près des trois racines du polynôme de degré 3.

Travaux pratiques Page 4

Equation de la tangente à une courbe

Notons y  mx  p l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Le nombre dérivé en a correspond au coefficient directeur de la tangente donc

 

. L’équation de la tangente à la courbe a donc cette forme :

 

. Pour déterminer l’ordonnée à l’origine je tiens compte du fait que la tangente passe par le point A de coordonnées 

   et je vais résoudre l’équation suivante :

   

   

f a f a a p

p f a f a a

   

     donc nous en déduisons :      

    

y f a x f a f a a y f a x a f a

 

   

     .

Méthode de Newton

Le schéma proposé ci-contre illustre le procédé mis en place par Newton pour déterminer une valeur approchée de la racine  d’une fonction : à partir d’un point d’abscisse x

de la courbe, on trace la tangente à la courbe qui coupe l’axe des abscisses en x

, à partir du point d’abscisse x

de la courbe, on trace la tangente à la courbe qui coupe l’axe des abscisses en x

, et on réitère cette opération…

Analyse de cette méthode

Le nombre x1 correspond à l’abscisse du point d’intersection de T0 la tangente en x0 à la courbe ainsi les

coordonnées 

 vérifient l’équation       

 

0 1 0 0 1 0

0

0

f x

f x x x f x x x

f x

      

 . De manière

analogue on établit que  

 

2 1

1

x x f x

f x

   puis que  

 

1

n

n n

n

x x f x

f x



 

 . Un algorithme

A l’aide du travail mathématique effectué ci-dessus,

écrire un

algorithme

permettant de déterminer, pour

un nombre

d’itérations donné,

la valeur approchée

de la racine d’une

fonction.