C Degré d’un polynôme

Chapitre 16 : Polynômes.

Dans ce chapitreKdésignera indifféremmentRouC.

I Ensemble des polynômes

A Définitions

Remarque1. On s’autorise à parler indifféremment de du polynôme ou de la fonction polynomiale associée.

Soit P est une application définie sur K à valeurs dansK polynomiale tel qu’il existe un entiernPNet unn`1-upletpa0, a1,¨ ¨ ¨, anq PK<sup>n`1</sup> tel que

@xPK, Ppxq “a₀`a<sub>1</sub>x` ¨ ¨ ¨ `anxⁿ“

n

ÿ

k“0

akx^k

P sera alors appelée application polynomiale et les ai le coefficient d’indice ideP.

Par convention on noteX l’applicationxÞÑx.

Avec ces notations P :xÞÑ

n

ř

k“0

akx^k se note PpXq “

n

ř

k“0

akX^k (plutôt que P˝X qui ne sera pas utilisée) et on autoriseP “

n

ř

k“0

akX^k.

• On appellepolynôme nulle polynôme dont tous les coefficients sont nuls, c’est donc l’application nulle.

• On appellepolynôme constanttout polynôme de la formeP :xÞÑa₀.

• On appellemonôme de degré ktout polynôme de la formeP :xÞÑa_kx^k On note KrXsl’ensemble des polynômes à coefficients dansK.

Définition 1(Notation des polynômes)

B Opérations de base

SoitP “

n

ř

k“0

akX^k et Q“

d

ř

j“0

bjX^j. On définit alors les polynômes suivants :

• P`Qest le polynôme défini parP`Q:xÞÑPpxq `Qpxq. On a alors P`Q“

maxpn,dq

ÿ

k“0

pa_k`b_kqX^k

où, par conventionak“0 si kąnetbk“0 sikąd.

• PourλPK,λP est le polynôme défini par λP :xÞÑλˆPpxq. On a alors λP “

n

ÿ

k“0

λakX^k

• P Qest le polynôme défini par P Q:xÞÑPpxq ˆQpxq. On a alors P Q“

n`d

ÿ

k“0

ckX^k où @kPJ0, n`dK, ck “

k

ÿ

j“0

ajbk´j

là encore, par conventionak “0 sikąnet bk “0 si kąd.

• P˝Qest le polynôme définit parP˝Q:xÞÑPpQpxqq. Il n’y pas vraiment d’écriture simple deP˝Q.

Définition 2

SoitP un polynôme.P est alors continu sur R Proposition 1

Démonstration. Il est évident queXest continu surR,X^kest donc continu surRen tant que puissance d’une fonction continu. EnfinP est continu surRen tant que somme de fonctions continues.

SoitP “

n

ř

k“0

a_kX^k un polynôme à coefficients réels. AlorsP“0 si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Théorème 2

Démonstration. — Il est évident que si tous les coefficients deP sont nuls alorsP est le polynôme nul.

— Réciproquement supposons queP est le polynôme nul, on a donc

@xPR,

n

ÿ

k“0

akx^k“0

On va montrer par récurrence forte surkque, pour toutkPJ0, nK,ak “0 Initialisation

On aa0“Pp0q “0.

Détaillons comment procéder pour en déduire alors quea1“0, cela n’est pas nécessaire pour la récurrence mais permet d’éclairer la construction de la preuve.

Commea0“0 on a alors

@xPR, Ppxq “

n

ÿ

k“1

a_kx^k “x

n´1

ÿ

j“0

a_j`1x^j

NotonsP1“

n´1ř

j“0

aj`1x^j On a alors

@xPR, Ppxq “xP1pxq “0 D’où

@xPR^˚, P₁pxq “0 OrP1 est continu, ainsiP1p0q “lim

xÑ0P1pxq “ lim

xÑ00“0 OrP1p0q “a1.

On a donc biena₁“0 Hérédité :

SoitkPJ0, nK. On suppose quea₀“a₁“ ¨ ¨ ¨ “a_k´1“0 et on va montrer qu’alorsa_k“0 Commea0“a1“ ¨ ¨ ¨ “ak´1“0 on a donc

@xPR, Ppxq “

n

ÿ

i“k

a_ixⁱ“x^k

n´k

ÿ

l“0

a_l`kx^l

NotonsP_k“řn´k l“0 a_l`kx^l On a alors

@xPR, Ppxq “x^kPkpxq “0 D’où

@xPR^˚, Pkpxq “0 OrPk est continu, ainsiPkp0q “limxÑ0Pkpxq “limxÑ00“0

P a

Soit P “

n

ř

k“0

a_kX^k un polynôme à coefficients complexes. Alors P “ 0 si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Théorème 3

Démonstration. — Il est évident que si tous les coefficients deP sont nuls alorsP est le polynôme nul.

— Réciproquement soitP“

n

ř

k“0

akX^k oùa0, a1,¨ ¨ ¨, anq PC^n`1. Supposons queP est le polynôme nul, on a donc

@xPC,

n

ÿ

k“0

akx^k“0

PourkPJ0, nKnotonsak“rk`isk et définissons les deux polynômesR etS par R“

n

ÿ

k“0

r_kx^k et S“

n

ÿ

k“0

s_kX^k

On a alorsRPRrXs,S PRrXset P “R`iS.

PourxPRon a

<pPpxqq “

n

ÿ

k“0

<pakx^kq “

n

ÿ

k“0

<pakqx^k “Rpxq

=pPpxqq “

n

ÿ

k“0

=pa_kx^kq “

n

ÿ

k“0

=pa_kqx^k “Spxq

D’où, commePpxq “0,

@xPR, Rpxq “0, et Spxq “0 D’après le théorème précédent on a alors

@kPJ0, nK, r_k “0 et s_k“0 D’où

@kPJ0, nK, a_k“r_k`is_k “0

On peut alors résumer nos deux théorèmes

SoitP PKrXs,P est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Corolaire 4

Une conséquence importante est le théorème suivant

Remarque2. Nous avons ici enfin la démonstration que deux polynômes sont égaux si leurs

coefficients sont égaux.

L’écriture développée d’un polynôme est unique.

En d’autres termes, si P “

n

ř

k“0

akX^k “

d

ř

j“0

bjX^j alorsn“det

@kPJ0, nK, a_k“b_k Théorème 5

Démonstration. SoitP“

n

ř

k“0

akX^k etQ“

d

ř

j“0

bjX^j. Si P “QalorsP ´Q“

maxpn,dq

ř

k“0

pa_k´b_kqX^k “0, où, par conventiona_k “0 sikąnet b_j “0 si jądD’après les théorèmes précédents on a alors

@kPJ0,maxpn, dqKa_k“b_k

C Degré d’un polynôme

1 Définition

SoitP “

n

ř

k“0

akX^k un polynôme non-nul. (On posera degp0q “ ´8.)

On appelle degré deP, noté degpPqle plus grand entierktel que ak “0, c’est-à-dire degpPq “maxtkPJ0, nK, ak“0u

On appelle alors a_degpPqle coefficient dominant deP eta_degPX^degpPqle terme ou monôme dominant deP.

On note KnrXsl’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal àn.

Un polynôme de coefficient dominant égal à 1 est dit unitaire.

Définition 3(Degré d’un polynôme)

2 Propriétés

SoitP etQdeux polynômes etλPK^˚. On a alors

• degpP`Qq ďmaxpdegpPq,degpQqq

• degpλPq “degpPq

• degpP Qq “degpPq `degpQq

• degpP˝Qq “degpPq ˆdegpQq Théorème 6

Démonstration. Les trois premiers points viennent des formes développées deP`Q,λP etPˆQ.

On pourrait donner une écriture développé deP˝Qpour prouver la dernière formule mais on va plutôt réinvestir notre connaissance des équivalents.

On a vu quePpnq „

nÑ`8a_degpPqm^degpPq et queQpnq „

nÑ`8b_degpQqn^degpQq. Ainsi, pourkPJ0,degpPqKon aQpnq^k „

`8

`b_degpQqn^degpQq˘k

`8„ b^k_degpQqn^kdegpQq On a, de plus, sikăl,

nÑ`8lim Qpnq^k Qpnq^l “0 D’où

degpPq

ÿ

k“0

akQpnq^k „

`8a_degpPqQpnq^degpPq „

`8a_degpPqb^degpPq_degpQqndegpQqˆdegpPq

Ce qui nous montre que degpP˝Qq “degpPq ˆdegpQqet que le coefficient dominant deP ˝Qest a_degpPqb^degpPq_degpQq.

D Polynôme dérivé

1 Définition

Remarque3. SiP est à coefficients réels (et est donc une fonction deRdansRalors le polynôme dérivéP¹ coïncide avec la dérivée de la fonction polynomialeP.

SoitP PKrXsavecP “

d

ř

k“0

akX^k.

On appelle polynôme dérivé deP le polynôme, notéP¹ défini par P¹“

d

ÿ

k“1

kakX^k´1

Remarque4. SiP est à coefficients

complexes il n’y a (à notre niveau) aucun lien entre les fonctions polynomialesP etP¹.

On appellek-ième polynôme dérivée deP le polynôme notéP^pkqdéfini par récurrence par

# P^p0q“P

@kPN P^pk`1q“ pP^pkqq¹ Définition 4(Polynôme dérivé)

2 Propriétés

SoitpP, Qq PKrXs² etλPK. On a alors

• pλPq¹“λP¹

• pP`Qq<sup>1</sup>“P<sup>1</sup>`Q¹

• pP Qq¹“P¹Q`P Q¹

• pP˝Qq¹“Q¹ˆ pP¹˝Qq

Si nPNon a la formule de Leibniz(Hors programme)pour les polynôme pP Qq^pnq“

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙

P^pkqQ^pn´kq Proposition 7

Démonstration. SoitP“

n

ř

k“0

akX^k etQ“

m

ř

k“0

bkX^k, on a alors

— λP “

n

ř

k“0

λakX^k, d’où

pλPq¹“

n

ÿ

k“1

kλakX^k´1“λ

n

ÿ

k“1

kakX^k´1“λP¹

— P`Q“

maxpn,mq

ř

k“0

pak`bkqX^k, d’où

pP`Qq¹“

maxpn,mq

ÿ

k“0

kpa_k`b_kqX^k´1“

maxpn,mq

ÿ

k“0

ka_kX^k´1`kb_kX^k´1“

maxpn,mq

ÿ

k“0

ka_kX^k´1`

maxpn,mq

ÿ

k“0

kb_kX^k´1“P¹`Q¹

— On aP Q“

n`d

ř

k“0

c_kX^k où

@kPJ0, n`mK, ck “

k

ÿ

j“0

ajbk´j

AinsipP Qq¹“

n`m

ř

k“1

kckX^k´1“

n`m´1

ř

i“0

pi`1qci`1Xⁱ On a de plus

P Q¹“

˜ _n ÿ

k“0

a_kX^k

¸ ˜_m ÿ

k“1

kb_kX^k´1

¸

“

˜ _n ÿ

k“0

a_kX^k

¸ ˜_m´1 ÿ

i“0

pi`1qb<sub>i`1</sub>Xⁱ

¸

“

n`m´1

ÿ

i“0

d_iXⁱ

où

@iPJ0, n`m´1K, di“

k

ÿ

j“0

ajpk´j`1qbk´j`1

et

P¹Q“

˜ _n ÿ

k“1

ka_kX^k´1

¸ ˜_m ÿ

k“0

b_kX^k

¸

“

˜ _n ÿ

k“0

pi`1qa<sub>i`1</sub>Xⁱ

¸ ˜ _m ÿ

k“0

b_kX^k

¸

“

n`m´1

ÿ

i“0

e_iXⁱ

où

@iPJ0, n`m´1K, ei“

k

ÿ

j“0

pj`1qaj`1bk´j

Ainsi

P¹Q`P Q¹“

n`m´1

ÿ

i“0

pd_i`e_iqXⁱ“

n`m´1

ÿ

i“0

f_iXⁱ

où, pourkPJ0, n`m´1Kon a f<sub>k</sub> “d<sub>k</sub>`e_k

“

k

ÿ

j“0

a_jpk´j`1qb<sub>k´j`1</sub>`

k

ÿ

j“0

pj`1qa<sub>j`1</sub>b_k´j

“

k

ÿ

j“0

ajpk´j`1qbk´j`1`

k`1

ÿ

l“1

lalbk´l`1 pl“j`1q

“ pk`1qa0bk`1`

k

ÿ

j“1

ajpk´j`1qbk´j`1`

k

ÿ

j“1

jajbk´j`1` pk`1qak`1b0

“ pk`1qa0bk`1` pk`1qak`1b0`

k

ÿ

j“1

ajpk´j`1qbk´j`1`jajbk´j`1

“ pk`1qa0bk`1` pk`1qak`1b0`

k

ÿ

j“1

ajpk`1qbk´j`1

“ pk`1q

k`1

ÿ

j“0

ajbk´j`1

“ pk`1qck`1

Ainsi

P¹Q`P Q¹“

n`m´1

ÿ

i“0

pi`1qci`1Xⁱ“ pP Qq¹

— La formule de pP ˝Qqse prouve en commençant par le cas Q“X, puis le cas Q“X^m avec mPNpuis en concluant par combinaison linéaire, on l’admettra ici.

— On procède par récurrence : Initialisation : Sin“0 on a

pP Qq^p0q“P Q“ ˆ0

0

˙

P^p0qQ^p0q“

0

ÿ

k“0

ˆ0 k

˙

P^pkqQ^p0´kq

Hérédité :

SoitnPN, on suppose que

pP Qq^pnq“

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙

P^pkqQ^pn´kq

On a alors pP Qq^pn`1q“

˜ _n ÿ

k“0

ˆn k

˙

P^pkqQ^pn´kq

¸1

“

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙´

P^pkqQ^pn´kq

¯1

“

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙´

P<sup>pk`1q</sup>Q<sup>pn´kq</sup>`P^pkqQ^pn´k`1q¯

“

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙˜

P<sup>pk`1q</sup>Q<sup>pn´kq</sup>`

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙

P^pkqQ^pn´k`1q

¸

“

n`1

ÿ

i“1

ˆ n i´1

˙

P^piqQ<sup>pn`1´iq</sup>`

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙

P^pkqQ^pn´k`1q

“ ˆn

n

˙

P<sup>pn`1q</sup>Q<sup>p0q</sup>`

n

ÿ

k“1

ˆ n k´1

˙

P^pkqQ<sup>pn`1´kq</sup>`

n

ÿ

k“1

ˆn k

˙

P^pkqQ<sup>pn´k`1q</sup>` ˆn

0

˙

P^p0qQ^pn`1q

“P<sup>pn`1q</sup>Q<sup>p0q</sup>`

n

ÿ

k“1

ˆˆ n k´1

˙

` ˆn

k

˙˙

P^pkqQ<sup>pn`1´kq</sup>`P^p0qQ^pn`1q

“ ˆn`1

n`1

˙

P<sup>pn`1q</sup>Q<sup>p0q</sup>`

n

ÿ

k“1

ˆn`1 k

˙

P^pkqQ<sup>pn`1´kq</sup>` ˆn`1

0

˙

P^p0qQ^pn`1q

“ `

n`1

ÿ

k“0

ˆn`1 k

˙

P^pkqQ^pn`1´kq

Ce qui prouve l’égalité au rangn`1 et achève la récurrence.

3 Lien avec le degré

SoitP PKrXsun polynôme non constant. On a alors degpP¹q “degpPq ´1 et, par suite, si degpPq ěk

degpP^pkqq “degpPq ´k Théorème 8

Démonstration. Le premier point vient simplement de la définition deP¹ et le second en découle par récurrence.

4 Formule de Taylor : hors programme.

Remarque5. On a une écriture très pratique des coefficients en fonction des dérivées.

Ces résultats sont hors programmes mais extrêmement classiques.

SoitP PKrXsun polynôme de degré n. Alors P “

n

ÿ

k“0

P^pkqp0q k! X^k Théorème 9(Formule de Taylor-Mac Laurin)

Démonstration. SoitP“řn

k“0akX^k. On a alors

— Pp0q “a₀

— P¹“

n

ř

k“1

kakX^k´1, d’où P¹p0q “1a1

— P²“ řn

k“2

kpk´1qakX^k´2, d’oùP²p0q “2ˆ1a2“2a2

— ¨ ¨ ¨

— P^piq“ řm

k“i

kpk´1qpk´2q ¨ ¨ ¨ pk´i`1qX^k´i “ řm

k“i k!

pk´iq!X^k´i, d’oùP^piqp0q “i!ai

— ¨ ¨ ¨ On a donc

@kPJ0, nK, ak “P^pkqp0q k!

D’où le résultat voulu

On peut généraliser ce résultat

SoitP PKrXsun polynôme de degré netλPK. Alors P “

n

ÿ

k“0

P^pkqpλq

k! pX´λq^k Théorème 10(Formule de Taylor)

Démonstration. SoitQle polynôme défini par

@xPK, Qpxq “Ppx`λq

C’est-à-direQ“PpX`λq.

On voit alors que

@iPN, Q^piq“P^piqpX`λq On a alors

Q“

n

ÿ

k“0

Q^pkqp0q k! X^k “

n

ÿ

k“0

P^pkqpλq k! X^k D’où

P “QpX´λq “

n

ÿ

k“0

P^pkqpλq

k! pX´λq^k

II Racines et factorisation

A Racine simple

1 Définition

SoitP PKrXset aPK. On dit queaest une racine deP siPpaq “0.

Définition 5(Racine d’un polynôme)

2 Factorisation

SoitP PKrXsun polynôme non-constant et soitQPKrXs. On dit que P se factorise par Qs’il existe RPKrXstel queP “QR.

Définition 6(Factorisation par un polynôme)

SoitP PKrXset λPK.

P se factorise parX´λsi et seulement siλest une racine deP. Théorème 11(factorisation et racine)

Démonstration. On poseP “ řn

k“0

akX^k

Supposons que P se factorise par X ´a, il existe alors R tel que P “ pX ´aqR, on a alors Ppaq “ pa´aqRpaqd’oùPpaq “0.

Réciproquement supposons quePpaq “0.

On rappelle la formule de factorisation vue au chapitre 3 : Soitpa, bq PK² etkPN^˚

a^k´b^k “ pa´bq ˆ

k´1

ÿ

i“0

a^k´1´ibⁱ

PourxPRon a

Ppxq ´Ppλq “

n

ÿ

k“0

a_k`

x^k´λ^k˘

““

n

ÿ

k“1

ak

`x^k´λ^k˘

“

n

ÿ

k“1

a_kpx´λq

k´1

ÿ

i“0

λ^k´1´ixⁱ

“ px´λq

n

ÿ

k“1

ak k´1

ÿ

i“0

λ^k´1´ixⁱ

NotonsQk“řk´1

i“0λ^k´1´iXⁱPKrXset Q“řn

k“1akQkPKrXs.

On a alors

P´Ppaq “ pX´aqQ D’oùP “ pX´aqQ,P se factorise bien parX´a.

Exemple 1. On a

—

P “6X³`X<sup>2</sup>´19X`6“ pX`2qp2X´3qp3X´1q

—

Q“X⁴´6X²`7X´6“ pX´2qpX`3qpX^´X`1q “ pX´2qpX`3q ˆ

X´1´i? 3 2

˙ ˆ

X´1`i? 3 2

˙

SoitP un polynôme nul et soitpλ1,¨ ¨ ¨ , λkq PK^k des racines distinctes deP. Alors il existe QPKrXstel que

P“ pX´λ1qpX´λ2q ¨ ¨ ¨ pX´λkqQ En particulier on akďdegpPq

Théorème 12(factorisation et racines)

Démonstration. D’après le théorème précédent, comme Ppλ₁q “ 0 alors il existe Q₁ tel que P “ pX´λ₁qQ₁.

On a alorsPpλ₂q “ pλ₂´λ₁qQ₁pλ₂q “0. Ainsiλ₂ est une racine deQ₁, on peut donc factoriser Q₁ parX´λ₂.

On en tire alorsQ2 tel queQ1“ pX´λ2qQ2, d’où

P “ pX´λ1qpX´λ2qQ2

On répète ce procédékfois de suite et on trouveQtel que P“ pX´λ1qpX´λ2q ¨ ¨ ¨ pX´λkqQ

On a en particulier

degpPq “degppX´λ₁qpX´λ₂q ¨ ¨ ¨ pX´λ_kqq `degpQq “k`degpQq ěk

B Racines multiples

1 Définition

On va préciser la définition d’une racine d’un polynôme

Soit P PKrXset λPK. On dit queλest une racine deP s’il existemPN^˚ et QPKrXs tels que

P“ pX´λq^mQ avecQpλq ‰0.

On appelle alorsml’ordre de multiplicité deλou simplement la multiplicité deλ.

Définition 7(Racine multiple)

Remarque6. Sim“1 on parle de racine simple, sim“2 on parle de racine double, sim“3 de racine triple, etc.

2 Multiplicité et dérivation

SoitP PKrXset λPK.

P est factorisable parpX´λq^msi et seulement si

Ppλq “P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “P^pm´1qpλq “0 Théorème 13

Démonstration. — Supposons que P est factorisable par pX ´λq^m„ soit alors Q tel que P “ pX´aq^mQ. D’après la formule de Leibniz on a, pourkPJ0, m´1K

P^pkq“

k

ÿ

i“0

ˆk i

˙ m!

pm´iq!pX´λq^m´iQ^k´i D’où

P^pkqpλq “

k

ÿ

i“0

ˆk i

˙ m!

pm´iq!pλ´λq^m´iQ^k´ipλq “0 Réciproquement on va montrer par récurrence surmě1 que, si

Ppλq “P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “P^pm´1qpλq “0 alorsP se factorise parpX´λq^m

Initialisation

Pourm“1 cela correspond au théorème??

Hérédité

SoitPPKrXstel que

Ppλq “P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “P^pmqpλq “0 On a en particulier

Ppλq “P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “P^pm´1qpλq “0

Ainsi, par hypothèse de récurrence, P se factorise par pX ´λq^m. Soit donc Q tel que P “ pX´λq^mQ.

D’après la formule de Leibniz on a alors P^pmq“

m

ÿ

k“0

ˆm k

˙ m!

pm´kq!pX´λq^m´kQ^pm´kq“m!Q`

m

ÿ

k“1

ˆm k

˙ m!

pm´kq!pX´λq^m´kQ^pm´kq

Ainsi

On a doncQpλq “0,Qse factorise ainsi parX´α. SoitR tel queQ“ pX´αqR. On en tire alors

P “ pX´λq^mQ“ pX´λq^m`1R

P se factorise donc bien parpX´λq<sup>m`1</sup>ce qui prouve la propriété au rang m`1 et achève la récurrence.

On aurait aussi pu utiliser la formule de Taylor enλpour arriver rapidement au résultat (mais le résultat est hors-programme).

SoitP PKrXset λPK.

λest une racine de multiplicitémdeP si et seulement si

Ppλq “P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “P^pm´1qpλq “0 et P^pmqpλq ‰0 Corolaire 14

C Existence de racine

1 Dans C rXs

Existe-t-il toujours des racines à un polynôme ? Il s’agit d’une question qui a intéressé les mathé- maticiens pendant longtemps à laquelle il a fallu plusieurs siècles pour avoir une réponse complète

SoitP PCrXs(remarquons queRrXs ĂCrXs). AlorsP admet au moins un racine dansC. Théorème 15(de D’Alembert Gauss)

Remarque 7. — On appelle aussi parfois ce théorème le théorème fondamental de l’algèbre (bien que la plupart de ses preuves soient analytiques)

— Ce théorème a été énoncé pour la première fois sous cette forme par Jean Le Rond D’Alembert en 1746, Albert Girard en avait eu la première intuition en 1629 mais ne disposait pas des nombres complexes. Il a fallu attendre le 19e siècle pour voir apparaître des preuves complètes, d’abord par Jean Robert Argand en 1814, puis par Gauss en 1815,1816 et 1849.

— Ce résultat est non constructif, il nous assure de l’existence d’une racine mais ne nous donne pas de moyen de la trouver. On connait des méthodes pour les polynômes de degré 1, 2, 3 (méthode de Cardan) et 4 (méthode de Ferrari) et Niels Abel a prouve qu’il n’existait pas de méthode générale pour les degrés supérieurs ou égaux à 5.

Démonstration. Il est bien évident que l’on admet ce résultat

Tout polynôme de degré n à coefficients complexes peut s’écrire comme le produit de n polynôme du premier degré.

Corolaire 16

Démonstration.

Remarque8. Les polynômes réels étant des cas particuliers des polynômes complexes ce résultat s’applique également à eux.

Soit P P CrXs un polynôme de degré n. P admet alors exactement n racines complexes comptées avec multiplicité

Théorème 17

2 Dans R r X s

Le cas des polynômes réels est un peu plus compliqué, si l’on sait qu’ils ont des racines complexes, rien ne nous assure qu’ils ont des racines réelles. On peut toutefois obtenir quelques résultats

SoitP PRrXsetλPCune racine deP de multiplicitém. Alors ¯λest également une racine deP de multiplicitém.

Proposition 18

Démonstration. On a

Ppλq “P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “P^pm´1qpλq “0 et P^pmqpλq ‰0 Or, pourkPJ0, mKetxPCon a

Pp¯xq “

n

ÿ

k“0

akx¯^k “

n

ÿ

k“0

akx¯^k“

n

ÿ

k“0

¯ akx¯^k “

n

ÿ

k“0

akx^k “Ppxq

On a ainsi

Ppλq “¯ P¹pλq “ ¨ ¨ ¨ “¯ P^pm´1qpλq “¯ ¯0“0 et P^pmqpλq “¯ P^pmq¯pλq ‰0 λ¯ est donc bien une racine deP de multiplicitém.

SoitP PRrXsun polynôme de degré impair. AlorsP admet au moins une racine réelle.

Corolaire 19

Démonstration. Les résultats précédents nous assurent que

— P admet degpPqracines comptées avec multiplicité.

— P admet un nombre pair de racines complexes non réelles Ceci implique queP admet forcément une racine réelle.

SoitP PKrXsun polynôme de degré n. SiP s’annule enn`1 points distincts alorsP est le polynôme nul.

Théorème 20

Démonstration. SoitP PKrXsun polynôme de degrénet soitλ1,¨ ¨ ¨ , λn`1n`1 points d’annulation deP.

Alors on ne considère que lesnpremiers, on peut factoriser P parpX´λ1q,pX´λ2q, etc, soit P “ pX´λ1qpX´λ2q ¨ ¨ ¨ pX´λnqK

oùK est un polynôme de degrén´n“0 donc une constante.

Alors, en évaluant cette expression enλn`1 on obtient

0“Ppλ_{n`1</sub>q “Kpλ<sub>n`1}´λ₁qpλ_{n`1</sub>´λ<sub>2</sub>q ¨ ¨ ¨ pλ<sub>n`1}´λ_nq Lespλ_iq1ďiďn`1sont deux à deux distincts, on a ainsi

pλ_{n`1</sub>´λ<sub>1</sub>qpλ<sub>n`1}´λ₂q ¨ ¨ ¨ pλ_n`1´λ_nq ‰0 D’oùK“0 et, par suite

P “ pX´λ1qpX´λ2q ¨ ¨ ¨ pX´λnqK“0

Exemple 2. — FactoriserP “X⁶´7X⁵`17X<sup>4</sup>´16X<sup>3</sup>`8X²´16X`16 parpX´2qautant de fois que possible

— FactoriserQ“X⁵`6X<sup>4</sup>`11X³`11X<sup>2</sup>`6X`1 parpX`1“autant de fois que possible

— FactoriserR X⁴ 4X³ 8X² 4X 1 parpX 2qautant de fois que possible