Cours de prérentrée 2014 : Second degré (éléments de correction) Exercice 1 :
1° Factoriser, lorsque cela est possible :
= 3 ² + 11 − 4
Δ = 11² − 4 × 3 × −4 = 169 = 13²
Le polynôme a deux racines : =
×= −4 =
×=
D’où = 3 + 4 −
= 8 ² −4 3 + 1
18
Δ = − 4
3 − 4 × 8 × 1 18 = 0
Le polynôme a une racine : =
×=
D’où = 8 −
2° Résoudre dans les équations Pour tout de
= 2 + 15
⟺ − 2 − 15 = 0 Δ = −2 − 4 × 1 × −15 = 64 = 8²
⟺ =2 − 8
2 #$ =2 + 8 2
⟺ = −3 #$ = 5
Le solutions de l’équation sont −3 et 5.
Pour tout de
15 ² + − 6 = 0 Δ = 1² − 4 × 15 × −6 = 361 = 19²
⟺ =−1 − 19
30 #$ =−1 + 19 30
⟺ = − #$ =%
Le solutions de l’équation sont − et % 3° Etudier le signe des trinômes
& = ² − 7 + 10
Δ = −7 ² − 4 × 1 × 10 = 9 = 3²
Le polynôme a deux racines : =
(×= 2 = ⋯ = 5
−∞ 2 5 +∞
& + 0 − 0 + + = 1 > 0 - = 6 ² + + 1
Δ = 1² − 4 × 6 × 1 = −23 < 0 Le polynôme n’a pas de racine
−∞ +∞
& + + = 6 > 0
4° Résoudre dans l’inéquation Pour tout de
− + 15 − 9 < 9 − 4
⟺ − + 6 − 5 < 0
Δ = 6² − 4 × −1 × −5 = 16 = 4²
Le polynôme a deux racines : = ⋯ = 5 = ⋯ = 1
−∞ 1 5 +∞
− + 6 − 5 − 0 + 0 − + = −1 < 0 D’où / =] − ∞; 12∪]5 ; +∞2
Exercice 2 : Le calcul du discriminant n’est pas indispensable Résoudre :
− 16 = 0
⟺ − 16 = 0
⟺ = 0 #$ − 16 = 0
⟺ = 0 #$ = 16
Les solutions de l’équation sont 0 et 16
− 3 = 0
⟺ = 3
⟺ = √3 #$ = −√3
Les solutions de l’équation sont −√3 et √3
−3 + 1 ≥ 0
−∞ −1 +∞
−3+ 1 ² − − + 0 +
−3 + 1 ² − 0 − D’où / = {−1}
−2 + 3 + 4 < 0
−∞ −4 +∞
−2 + 3
−2 + 3+ 4 + 4 − 0 + 0 − D’où / = ]−∞ ; −42 ∪ 8 ; +∞9
11 − 3 − 1 ≤ 8
⟺ 11 − 3 − 9 ≤ 0
⟺ 11 − 3 − 3 11 − 3 + 3 ≤ 0
⟺ 11 11 − 6 ≤ 0
−∞ 0 ; +∞
1111 − 6
11 11 − 6 + 0 − 0 +
D’où / = 90 ; ;8
Exercice 3 : Pour aller plus loin a) Pour tout de
36 − 12 + = 0
⟺ 36 − 12 + 1 = 0
⟺ 6 − 1 = 0
⟺ = 0 #$ 6 − 1 = 0
⟺ = 0 #$ = 1 6
Les solutions de l’équation sont 0 et
;
b)
Pour tout de −{−3 ; 3}
² − 9 ≠ 0 => − 3 ≠ 0 ⟺ ≠ −3 => ≠ 3
−7
− 9 + 2 = 1
− 3
⟺ −7 + 2 − 9
− 9 = + 3
− 9
⟺ −7 + 2 − 9 = + 3
⟺ 2 − − 28 = 0 Δ = −1 − 4 × 2 × −28 = 225 = 15
⟺ = 1 − 15
4 #$ = 1 + 15 4
⟺ = − 7
2 #$ = 4
c) Pour tout de
−{0}
1 ≤ − 2
⟺ 1
− − 2
≤ 0
⟺ − + 2 + 1
≤ 0
Posons & = − + 2 + 1
Δ = 2² − 4 × −1 × 1 = 8 = ?2√2@
Le polynôme a deux racines :
= −2 − 2√2
−2 = 1 + √2 = −2 + 2√2
−2 = 1 − √2
−∞ 0 +∞
− + 2 + 1
− + 2 + 1
+ 0 − + 0 −
D’où / = A1 − √2; 0A ∪ A1 + √2 ; +∞A
Exercice 4 : La fonction et sa courbe représentative
On considère la fonction définie sur par = −2 + + 2 1° Etudier les variations de la fonction
+ = −2 parabole tournée vers le bas ∩ Abscisse du sommet DC=E
La fonction est strictement croissante sur 8−∞;E8 et strictement décroissnate sur 9E; +∞9 2° Encadrer au mieux :
Démarche très importante
a) ∈ 2−2 ; 0]
b) ∈ 20 ; 1]
c) ∈ 21 ; 5]
Tableau de variations de la fonction G
−∞ E +∞
(
Images : 1 4 =17
8 −2 = −8 0 = 2 1 = 1 5 = −43 A l’aide du tableau de variations complété avec les images
Pour ∈ 2−2 ; 0] , on a ∈ 2−8 ; 2]
Pour ∈ 20 ; 1] , on a ∈ 91 ; (8
Pour ∈ 21 ; 5] , on a ∈ 2−43 ; 1]
3° Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe HI et de l’axe des abscisses.
Pour tout de = 0
⟺ −2 + + 2 = 0 Δ = ⋯ = 17
⟺ =−1 − √17
−4 =1 + √17
4 #$ =−1 + √17
−4 =1 − √17 4
Ainsi la courbe HI coupe l’axe des abscisses en deux points J E√ (; 0 K E√ (; 0 0 2 , donc HI coupe l’axe des ordonnées au point L 0; 2
4° Déterminer la position relative de la courbe HI et de la droite d’équation M 10 Pour tout de
10
2 2 10
2 2 12
Δ 2 4 2 12 100 10 , 0
Ce polynôme a deux racines : EN 3 => EN 2
∞ 2 3 ∞
10 0 0 + 1 . 0
Ainsi,
HI est en dessous de la droite sur 0 ∞ ; 22 ∪03; ∞2 HI est au-dessus de la droite sur 0 2 ; 32
HI coupe la droite en deux points d’abscisse 2 et 3.
Méthode pour étudier la position relative : On calcule la différence,
puis on étudie le signe, puis on conclut
O ; M ∈ HI∩ P
⟺ Q M = − − 10 M = −2 + + 2
⟺ Q M = − − 10
− − 10 = −2 + + 2
⟺ Q M = − − 102 − 2 − 12 = 0
⟺ Q M = − − 10 − − 6 = 0 Δ = ⋯ = 25 = 5 > 0
⟺ R M = − − 10= 3 #$ = −2
⟺ RM = −13= 3 #$ RM = −8
= −2
Ainsi la courbe coupe la droite en deux points S 3 ; −13 T −2 ; −8
Exercice 5 : Aucune justification n’est demandée, utilisez au mieux la calculatrice Choisir la ou les bonnes réponses
(a) (b) (c) (d)
1 L’équation
13 ² − 15 + 2 = 0
a 2 solutions n’a pas de solution a une seule solution a 3 solutions 2 Une forme factorisée du polynôme
20 ² + 40 − 60 est
− 1 + 3 20 − 1 − 3 20 + 1 − 3 20 − 1 + 3
3 L’inéquation 3 ² + 5 + 2 ≥ 0 a pour
ensemble de solutions : U−1 ; −2
3 V ] − ∞; −1 ] ∪ U−2
3 ; +∞U U−2
3 ; 1V
L’ensemble vide 4 Le polynôme −3 + 20 − 12 est : Positif pour
compris entre et 6
négatif pour compris entre et 6 Positif pour compris entre et 6
négatif pour inférieur à ou supérieur à 6 5 La parabole d’équation M = 3 ² + 4 a
pour sommet / 2
3 ; 4 / −2
3 ;−4
3 / −4
3 ;−5
3 / −4
3 ; 0 6 La parabole d’équation
M = 4 ² + 7 − 36 a
Coupe l’axe des abscisses en 2 points distincts
Coupe l’axe des abscisses en un seul point
Ne coupe pas l’axe des abscisses
Ne coupe pas l’axe des ordonnées
Réponses 1(a) 2(d)
3(b) 4(a) et(d) 5(b) 6(a)
