Déterminez les racines du polynôme :

PanaMaths Janvier 2002

Déterminez les racines du polynôme :

( ) ( )( ^{1 1 2} ) _{( )} ( )( ^{1 2 ...} ) ( ¹ )

( ) 1 ... 1

1! 2! 3! !

n

x x x x x

n

x x x x n

P x x

n

− − − − − − +

= − + − + + −

Analyse

On note d’abord, en examinant le dernier terme de P x_n( ) qui comporte n monômes en facteur, que le degré de P_n vaut n. P_n admet donc au plus n racines. On peut ensuite remarquer que des valeurs simples de x annulent P x_n( ).

Résolution

On constate rapidement que l’on a : ∀ ∈n `^*,P_n(1)=0. En continuant, il vient : ^*

{ }

^{1 , (2) 1 2 2 1 0}

n 2

n P ×

∀ ∈` − = − + = . Puis : ^*

{ }

^{1, 2 , (3) 1 3 3 2 3 2 1 0}

2 6

n Pn × × ×

∀ ∈` − = − + − =

Ces « essais » semblent indiquer que les racines de P_n sont les n premiers entiers : 1, 2, …, n.

Nous allons le montrer par récurrence.

Soit donc la propriété : « Les racines du polynôme P_n sont les entiers 1, 2, …, n »

( )

En

Nous avons vu ci-dessus, que

( )

E1 ,

( )

E2 et

( )

E3 étaient vraies.

Supposons donc maintenant la propriété

( )

En vraie et étudions

(

En₊1

)

. Nous considérons d’abord P_n+1 qui s’écrit :

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

1

1

1 1 2

( ) 1 ...

1! 2! 3!

1 2 ... 1 1 2 ... 1

1 1

! 1 !

n

n n

x x x x x

P x x

x x x x n x x x x n x n

n n

+

+

− − −

= − + + +

− − − + − − − + −

+ − + −

+

PanaMaths Janvier 2002

On a donc, plus simplement :

( ) ( )( ) ( )( )

( )

1 1

1

1 2 ... 1

( ) ( ) 1

1 !

( ) ( )

n

n n

n n

x x x x n x n

P x P x

n P x Q x

+ +

+

− − − + −

= + −

+

= +

Avec :

( ) ( )( ) ( )( )

( )

1 1

1 2 ... 1

( ) 1

1 !

n n

x x x x n x n

Q x

n

+ +

− − − + −

= − +

On constate aisément que : ∀ ∈k

{

1, 2,...,n Q

}

, _n+1( )k =0. De surcroît, par hypothèse on a : ∀ ∈k

{

^{1, 2,...,}n

}

^,P kn^{( )}=⁰. Il vient donc : ∀ ∈k

{

1, 2,...,n

}

,P x_n( )+Q_n+1( )k = =0 P_n+1( )k .

Nous avons ainsi établi que les n premiers entiers étaient racines de P_n+1. Calculons maintenant P_n+1(n+1).

En revenant à la définition de P_n+1, il vient :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1

1

1 2 3 1 1

1 1 1 1 1

1

1 1 1

( 1) 1 1 ...

1! 2! 3!

1 1 ...2 1 1 ...2.1

1 1

! 1 !

1 ... 1 1

1 1 0

n

n n

n n n n

n n n n n

n

n n n n n

P n n

n n n n n n

n n

C C C C C

+

+

+ +

+ + + + +

+

+ + −

+ = − + + + +

+ − + −

+ − + −

+

= − + − + + − + −

= −

=

1

n+ annule P_n+1, la propriété

(

En₊1

)

est donc vraie. On en déduit que

( )

En est vraie pour tout entier n non nul.

Résultat final

Les racines de :

(

¹

) (

¹

)(

²

) ( ) (

¹

)(

^{2 ...}

) (

¹

)

( ) 1 ... 1

1! 2! 3! !

n n

x x x x x x x x x n

P x x

n

− − − − − − +

= − + + + + −

sont les n entiers : 1, 2, …, n.