Distance entre les racines d'un polynôme

RAIRO. A NALYSE NUMÉRIQUE

M. M ^IGNOTTE M. P ^AYAFAR

Distance entre les racines d’un polynôme

RAIRO. Analyse numérique, tome 13, n^o2 (1979), p. 181-192

<http://www.numdam.org/item?id=M2AN_1979__13_2_181_0>

© AFCET, 1979, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « RAIRO. Analyse numérique » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/

conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(vol 13, n° 2, 1979, p 181 a 192)

DISTANCE ENTRE LES RACINES D'UN POLYNÔME (*)

par M . M I G N O T T E (^x) et M . PAYAFAR (²) Communiqué par P G CIARLET

Résumé — Nous étudions des minorations de la distance entre des racines distinctes d'un polynôme à coefficients entiers Le cas des polynômes cubiques est étudié en détail Nous construisons aussi des polynômes irréductibles sur les entiers ayant deux racines « très proches »

Abstract — Westudylower bounds of the distance between distinct root of an integer polynotmal A detailed study ofthe case ofcubic polynomials is made We also built irréductible polynomials over the integer s with two "ver y closed" roots

1. INTRODUCTION

La séparation des racines d'un polynôme constitue souvent le premier pas des algorithmes de calcul des racines de ce polynôme. Ce type de calcul intervient bien sûr dans certains problèmes d'Analyse Numérique, il apparaît aussi comme étape d'algorithmes de calcul formel et on sait l'importance croissante du Calcul Algébrique Symbolique. Des discussions plus détaillées sur ce sujet figurent en particulier dans les articles suivants [1, 2, 5]...

Nous considérerons ici surtout des polynômes à coefficients entiers. Ce sont ces polynômes qui interviennent dans les calculs symboliques. En outre, les calculs avec les ordinateurs digitaux sont le plus souvent effectués sur des nombres binaires de longueur bornée et peuvent être ramenés, par un changement d'unité, à des calculs sur les entiers.

Nous étudions des minorations de la distance minimale entre les racines distinctes d'un polynôme. Nous rappelons brièvement les résultats connus et de plus obtenons un certain nombre de minorations nouvelles.

(*) Reçu mai 1978

f1) Centre de Calcul, Université Louis-Pasteur, Strasbourg (France) ( ) Polytechnique de Téhéran, avenue Hafez, Téhéran (Iran)

R A I R O Analyse numérique/Numencal Analysis, 0399-0516/1979/181/$ 4 00

182 M MIGNOTTE, M PAYAFAR 2. NOTATIONS

Nous considérerons dans toute la suite un polynôme P de degré d ^ 2 a coefficients complexes et de racines 0Lt,

*1) (X-ad), aoad^0, (1) dont les racines sont numérotées de sorte que l'on ait

La distance minimale entre deux racines distinctes de P est la quantité sep (P) = mm | a, - a, |,

avec par convention sep(P)= oo si P ne possède pas deux racines distinctes La mesure M(P) du polynôme P est définie par la relation

in

la formule de Jensen montre que

Le discriminant A du polynôme P vaut

A = a

/-

J] ( a , - a / ,

On posera enfin

1/2

3. MAJORATION DE LA MESURE D'UN POLYNÔME

Le résultat suivant a été démontré récemment par W Lawton [4]

LEMME 1 — Soit P un polynôme donné par la formule (1) Pour tout polynôme Q on pose

l/2

R A I R O Analyse numenque/Numencal Analysis

On a alors :

(i) M(P)2 = inf

Ô.Q(O) = l

(Ü) i n f \\Q\\=gi+i/gil e,e(o)=i,

où on a posé

et

adad-k~^ad-lad~k-l+ - - - +aka0 5 l

<p(fc)=< 0 si k>d, cp(-/c) si fc<0.

On en déduit le résultat bien connu suivant : COROLLAIRE 1. — La mesure de P vérifie :

M{P)^\\P\\², (2)

>On a M ( P ) < ; | | g^o| | pour Q^O{X)=1. D'après la formule de Parseval Ce corollaire peut être raffiné en appliquant la formule (ii) pour / = 1. On obtient ainsi Pinégalité suivante, qui ne semble pas avoir mise en évidence auparavant.

COROLLAIRE 2. — Si P est un polynôme donné par la formule (1) alors sa mesure vérifie :

0|². (3)

4. MINORATIONS GÉNÉRALES DE l ^ - a j

Nous distinguerons plusieurs cas, en supposant toujours i<j. Rappelons que la numérotation choisie pour les racines de P est telle que Ton a a) Cas général

Majorons le discriminant À du polynôme P. On a

184 M. MIGNOTTE, M. PAYAFAR

1 - 2

Par conséquent,

et en particulier

|ot,-a,| ^

Plus généralement, soit Q c {(i,j); l ^ i alors l'inégalité (4) peut être remplacée par

' . . . k - J -

, (4)

(5) g d } et soit Q'= {; ; (i, j ) e f l )

- i l "¹. (6) où k =

Les majorations précédentes de M(P) permettent d'obtenir des minorations de sep (P) qui s'expriment facilement en fonction des coefficients de P. C'est ainsi que des inégalités (2) et (5) on déduit la minoration

sep(P)^22-d (^1 ) / 2|A|1 / 2||P||rd. (7)

REMARQUE t. — Dans les formules précédentes la dépendance en fonction de d est assez médiocre puisque de la forme c~d\ On peut remplacer ce terme dans la formule (5) par d~cd en procédant ainsi. Remarquons d'abord que le discriminant de P est aussi donné par la formule

Par une manipulation élémentaire du déterminant D qui figure au membre de droite et l'inégalité de Hadamard, on obtient facilement

d - l 1/2

\2d-2\U2

D'où la minoration

|A|1'2max{l, (5 bis)

R A I R O Analyse numénque/Numencal Analysis

qui implique

sep(P)><r(d+2)/2|A|1/2||P||i~d,

inégalité qui peut être améliorée par le facteur multiplicatif y/ï ([3], Th. 1).

Quoi qu'il en soit nous nous intéressons ici surtout à la dépendance en fonction de M(P) et nous ne chercherons pas des formules raffinées en fonction de d.

Notons encore que dans le cas particulier (important) des polynômes à coefficients entiers sans facteurs multiples on a | A | ^ 1 , ce qui simplifie les inégalités ci-dessus.

L'inégalité (6) va nous permettre d'améliorer l'inégalité (5) dans certains cas que nous examinons maintenant.

b) a, et a, non réels, a ^ a , , P à coefficients réels.

Appliquons (6) avec Q = {(i, j), (*',ƒ)} où a^r = ot^lf oc, = 0 , . Il viefK

1|1-d. . . \ad-1 | "1)1 / 2, (8) donc aussi

| | d ) / 2 . (9)

Les inégalités (5) et (9) figurent essentiellement dans l'article [3] de Güting. Par contre le cas suivant semble nouveau.

c) a^t réel, ot⁷ non réel, P à coefficients réels.

Si oc, = âj on prend Q = {(i, j ) , (i, f), (j, ƒ)} et on applique la formule (6), en remarquant que l'on a

d'où l'inégalité

l ^ - a ^ d A i

^ ^

- ^ ^

^ ! ^ !

! ^ !

- ^ ^ !

-

. . . lo^-ii-

)

'

, (io)

qui implique

Remarquons que si oc⁷ est réel et oc^t non réel (et si les coefficients de P sont réels) la minoration (10) a encore lieu.

En résumé, nous obtenons le théorème suivant.

THÉORÈME 1. — Soit P un polynôme de degré d à coefficients complexes, de discriminant A, de racines distinctes alf. . ., ad avec | otx | ^ | a2 | ^ . . . è | ad | ,

P{X) = adXd+ . . .+a0,

186 M. MIGNOTTE, M. PAYAFAR

Alors on a Vinégalité

|aI-ocJ|^|A|1/221-d«'-1>/2|cxJ| . | ad|1-d| a1|1- " | c x2|2- 'i. . . loc,-!!"1. De plus, lorsque P est à coefficients réels, si at et a, sont des racines imaginaires de P non conjuguées on a

|al-aJ|^|A|1/421-d<d-1>/4|a j|(|fld|1-'i|a1|1-''|a 2|2-'i. . . !«„_! I"1)1'2

et si un des nombres a,, a, et un seul est réel alors :

5. UTILISATION DE PROPRIÉTÉS GALOISIENNES

Supposons le polynôme P à coefficients entiers et irréductible sur le corps Q des rationnels. Soit D le degré sur Q du corps Q(ot,, a,), alors d^D^d(d—\).

Considérons le nombre

q = ajh Y\ o (a, - a,) avec 5 = D/d,

a

où a parcourt l'ensemble E des plongements du corps Q(at, a,) dans C. Le nombre q est un entier rationnel non nul, donc

|a^d|^{2 8}

c#Id

En utilisant le fait que pour chaque afe la famille (o(ak))ael comporte chaque élément ak répété exactement ô fois, on obtient :

OÙ

8' = [(6 + l)/2] et e = l + 2 8 ' - ô ( = 1 si ô est pair et 2 sinon).

D'où la minoration qui implique

| at- aJ| ^ 21- ° M ( P ) -2 5. (12) D'où le résultat suivant :

THÉORÈME 2. — Soit P un polynôme à coefficients entiers irréductible sur Q,de degré d et de mesure M(P). Soient a⁽ et a⁷ deux racines distinctes de P et soit ô le degré du corps Q(ot,, oc,) sur le corps Q ( a J alors on a

5. (12)

R A I R O Analyse numénque/Numencal Analysis

Remarquons que l'inégalité (5) jointe à la minoration | À | ^ 1 (justifiée par le fait que P est ici un polynôme irréductible à coefficients entiers) conduit à la relation

par conséquent la formule (12) est plus précise que cette dernière inégalité lorsque D vérifie D<d(d—l)/2, ce qui ne peut se produire que pour d*§:4

6. APPLICATION DES RÉSULTATS PRECEDENTS AUX POLYNÔMES DE DEGRE 3

Nous avons choisi pour illustrer les résultats précédents le premier exemple non trivial, celui des polynômes de degré 3 à coefficients entiers sans racine multiple

1 Soit donc P^a3X3 + a2X2 + a1X + a0 un polynôme de degré 3 a coefficients entiers de racines OLU a2, oc3 distinctes avec | o^ | ^ | a2 | è | oc31

Supposons d'abord que P ne possède qu'une racine réelle Appelons a la racine réelle et (3, (3 les racines complexes conjuguées de P Les inégalités (10) et (4) impliquent respectivement

| a - p | ^ ( 2 M ( P ) ) -2 / 3 (13) et

" (14) Passons maintenant au cas général D'après (4), nous avons alors ,

| al~ aJ| ^ 2 ~2a3"2| a1| "2 pour z / ; (15) II est à noter que les inégalités (14) et (15) ne peuvent être améliorées qu'à une constante multiplicative près En effet, la suite de polynômes

o u Pn/^n est la tt-ieme convergente du développement en fraction continue de yjl, venue suivant la parité de n

| a¹- a¹| ^ 3 ^ 7²a r² pour i = 2 ou 3

(puisque \pjqn-yf2\<qn 2 et que l'on a pniqn<-s/2 ou pn/qn>^/2 suivant la parité de n)

Mais les polynômes ainsi construits sont réductibles et le problème de Foptimahté de la relation (15) pour des polynômes irréductibles reste ouvert, ainsi que celui de Fopùmalité des relations (13) et (14)

188 M MIGNOTTE, M PÂYÂFAR

2 Considérons maintenant le cas particulier important ou P est un polynôme unitaire, autrement dit supposons a3 = l On a alors d'après (4)

| ~2

Supposons | ot! - oc2 | ^ 1 / 5 , alors

^ (puisque | a , \^ 1), donc

| | 1 (16)

inégalité encore vérifiée pour | ax — a2 | > 1/5

3 Un cas encore plus particulier est celui des polynômes cubiques unitaires et dont le second coefficient, a2, est nul C'est aussi un cas important en pratique Supposons donc maintenant a3 = 1 et a2 = 0 La somme des racines de P est nulle II en résulte que P ne peut avoir une seule racine de grand module Plus précisément, la relation

implique

On en déduit la majoration qui, jointe a (15), fournit Fmegahte

| o tI- aJ| ^ ( 8 M ( P ) ) -1 pour i^j (17) Résumons les résultats obtenus

T H É O R È M E 3 — Soit P {X) = a3 X3 + a2 X2 + a± X + a0 un polynôme cubique à coefficients entiers de racines distinctes <x1( a2, oc3 {avec | ax | ^ | o c2 | è | o t3 |) Alors on a toujours

|oc^l-a^J|^(2a³|a¹|)"² pour i^j Si <xt est réelle et a^ ne Vest pas alors

|a^l~a^J|^(2M(P))"²^³ Lorsque P est unitaire a^x et oc² vérifient

|a¹-a²|>(5M(P))"¹ Enfin si a3 = 1 et a2 =0, on a

R A I R O Analyse numérique/Numencal Analysis

7. ÉTUDE ASYMPTOTIQUE

Nous nous proposons d'étudier pour à fixé le comportement de sep (P) lorsque

|| P || 2 tend vers l'infini. Nous considérerons plus précisément la quantité _-Log(sep(P))

" Log(||P||²) '

P parcourant l'ensemble U^d des polynômes de degré à à coefficients entiers et sans racine multiple. Pour un tel polynôme, l'inégalité (7) nous apprend que l'on a

Posons

L(d)= \im sup p(P).

PeUd | | p | |2- > a o

Cette fonction a déjà été étudiée en [5], où elle est définie par une formule légèrement différente. La majoration précédente de p(P) montre que l'on a

L{d)Sd-l. (18) En utilisant des résultats de Wirsing et W. Schmidt, il a été démontré dans ce travail la minoration

L(d)£[(d+l)/2]. (19) On a donc

L(2) = l,

La première de ces égalités est presque triviale, la seconde résoud un problème posé par Collins et Horowitz en [1]. Pour d^4 la valeur de L(d) ne semble pas connue.

La démonstration de l'inégalité (19) qui figure en [5] est obtenue en construisant des polynômes réductibles ayant un facteur fixe Q de degré [d/2] + 1 et un autre facteur dont une racine tend vers une racine donnée de Q. Cette remarque conduit à considérer la fonction

L*(d) =lim sup p(P) quand | | P | |²- > o o .

PeUd P irréductible

Du fait de l'importance pratique des polynômes unitaires il est encore naturel de considérer les quantités

L0{d)= \im sup p(P)

PeUd P unitaire

1 9 0 M MIGNOTTE, M PAYAFAR

et

L$(d) =hm sup p(P)

PeVd P unitaire et irréductible

Ces fonctions vérifient trivialement les inégalités

et

II est facile de voir que l'on a L*(2) = l,

Pour <i^3 il semble que l'on ne connaît aucune des valeurs L%(d), L^Q(d) ou L*(d)

Nous allons démontrer des minorations de L%{d)

THÉORÈME 4 — Pour d^3 on a

LUdm 1/2 (20)

et

L%(d)^d^ll3/15 pour d^24 (21)

> La démonstration de (20) est facile On considère la famille de polynômes

le polynôme P^k a deux racines proches de ±(2/c)~^1/2 et le critère d'Eisenstein montre qu'il est irréductible

Le schéma de la démonstration de la minoration (21) est le suivant Soit n = [(d/3)^1/3] et soit H un entier très grand D'après (19) on peut trouver un polynôme Q de degré n à coefficients entiers et qui vérifie p (Q) ^ H/2 — 1 /(2 n) et

| | ô | |2è i J Pour | x | > 1 et | y | > l on a | x ~1- y ~1| < | . x - j '?| , on peut donc supposer que Q a deux racines a et p avec | a | g 1 et sep (Q) = | a — P | (si tel n'est pas le cas remplacer Q par son polynôme réciproque)

Soit ^ = [||<2||2/n] + l alors le polynôme Q(kX) possède les racines oc' = oc//cet P' = |3/fe et on a

m a x { | a ^ | p ' | } ^ 2 | | ô l | 21 / n, (22) 2 | a ' - p ' | ^ | | Q | | rl / 2 (23) Soit p le plus petit nombre premier qui ne divise pas Q(0), on pose

R (X) = pQ (kX), P(X) = Xd + R (X),

R A I R O Analyse numenque/Numencal Analysis

d'après le critère d'Eisenstein P est irréductible.

Il existe un disque centré au point (a' + P')/2 et de rayon majoré par | oc' — P' | qui contient a' et P' dans son intérieur et sur la frontière F duquel on a

où cl est une quantité positive qui ne dépend que de à. D'autre part, (22) et (23) impliquent

| si zeT.

Il est facile de démontrer la majoration

2 | | K | | 2 ^ | | Ô 2 | |^{5 / 2} pour H assez grand.

Des trois inégalités précédentes résulte que l'on a

| si zeT (puisque d ^ 3 n²) .

Le théorème de Rouché montre enfin qu'il existe au moins deux racines de P dans le disque de frontière T. On a donc

D'où la seconde assertion. <

REMARQUE. — Nous n'avons fait aucun effort pour raffiner l'inégalité (21) car on peut penser qu'il existe une constante positive c telle que l'on ait

pour d^

8. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX

Nous avons étudié le cas particulier des polynômes unitaires de degré 3 dont le second coefficient est nul. Soit :

P = X3-aX + b, un tel polynôme, son discriminant vaut

nous le supposons non nul. La distance minimale entre deux racines d'un tel polynôme vérifie :

sep(P)^|A|^{1 / 2}(2|a¹|)-²^]A|^{1 / 2}(8M(P))-¹, {17 bis) où comme plus haut a^lt désigne une racine de P de module maximal,

192 M. MIGNOTTE, M PAYAFAR

On sait que, dans le cas considéré ici, | A tend vers l'infini avec b |, mais on ne sait pas démontrer l'inégalité

hm

Des calculs, effectués sur UNIVAC 1110, ont conduit au résultat suivant : pour a ^23 .105 on a

Log Log

A b

s : =

t£ii^i>i/2

Log|b|

sauf dans les cas qui figurent dans le tableau suivant :

a

17 977 338 815 1013 692 1072283 1306999 2160342

b

927 735 75 908 788 392 832257 427 378081 575123 345 1222170726

£

0,481 0,495 0,275 0,449 0,490 0,482

A = 21b2~4a2

743 7988 - 232 - 7 600 19 680 24320

Notons pour conclure que Ton a l'encadrement

-0^ limr sup p(P)^l-Limiïrfe{P).

BIBLIOGRAPHIE

1. G. E. COLLINS and E. HOROWITZ, The Minimum Root Séparation ofa Polynomial, Math Comp., vol. 28, n°126, 1974, p. 589-597

2. G E COLLINS and R. Loos, Polynomial Real Root Isolation by Differentiation, Proceedings of the 1976 A.C.M. Symposium on Symbohc and Algebraïc Compilation, R D. JENKS, éd., p 15-25.

3 R. GUTING, Polynomials with Multiple Zeroes, Mathematika, vol 14, 1967, p. 181- 196.

4. W. LAWTON, Heights of Algebraïc Numbers and Szego's Theorem, Proc American Math. Soc , vol. 49, 1975, p. 47-50

5 M. MIGNOTTE, Sur la complexité de certains algorithmes ou intervient la séparation des racines d'un polynôme, R A.I.R.O. Informatique théorique, vol 10, 1976, p 51-55.

R A I R O Analyse numérique/Numencal Analysis