1.1 Racines d’un polynôme

Gasmi.B 2019/2020

Les nombres premiers sont les nombres entiers supérieurs à 2 qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Nous avons besoin d’une définition équivalente pour les polynômes : on les appelle polynômes irreductibles

1 Polynômes irreductibles

Définition 1

On dit qu’un polynôme P deK[X] est irréductible s’il est non-constant, et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c’est-à-dire les polynômes de la forme αP, avec α∈K− {0}.

Exemple 1

Ô P =X²+ 1 = (X−I)(X+I) n’est pas irréductible dansC[X]car(X+I) diviseP, autrement dit I est une racine de P, mais il l’est dans R[X].

Ô Un polynôme à coefficients réels qui n’a pas de racine n’est pas forcément irréductible.

Ô Les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles.

Ô Dans C[X], les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1.

Ô DansR[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant négatif.

Définition 2

SoitP ∈K[X] un polynôme de degrén≥1, on dit que P est irréductible si pour toutQ∈K[X]

divisant P, alors, soit Q∈K− {0}, soit il existe α∈K− {0} tel que Q=αP.

Définition 3

Un polynôme qui n’est pas irréductible est dit réductible.

Exemple 2

Ô (X²−1) = (X−1)(X+ 1)est réductible dans R[X]. Ô (X²−2) = (X−√

2)(X+√

2)est réductible dansR[X]mais pas dansQ[X].

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Définition 4

Tout polynôme se décompose de manière unique en produit de facteurs irréductibles

Exemple 3

Ô (X²−5X+ 6) = (X−3)(X−2)

1.1 Racines d’un polynôme

Définition 5

On dit que x₀ est une racine deP ∈K[X] (ou un zéro de P) lorsque P(x₀) = 0 Exemple 4

Ô x0 = 3, x1 = 2sont deux racines de P = (X²−5X+ 6) = (X−3)(X−2)

1.2 Division selon les puissances croissantes

Théorème 1

Soit n ∈N, A etB deux polynômes de K[X], On suppose que B(0) 6= 0

Alors il existe deux polynômes Q et R vérifiant : A = BQ+Xⁿ⁺¹R Q, R sont appelés respectivement quotient et reste de la division suivant les puissances croissantes de A par B à l’ordre n.

1−2X +X³ +X⁴ 1 +X+X² _________

1 +X +X² 1−3X−2X²

. −3X−X²+X³ +X⁴ . −3X−3X² −3X³ . 2X²+ 4X³+X⁴ . 2X²+ 2X³+ 2X⁴ . 2X³−X⁴ On a doncA= (1−3X+ 2X²)

| {z }

Q

B+ (2−X)

| {z }

R

X³ est la division selon les puissances croissantes jusqu’a l’ordre 3 de A par B.

Remarque 1

Cela servira notamment pour les développements limités de quotients

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