4 Racines d’un polynôme

P

Dans toute la suite,Kdésigne le corps des réels, le corps des complexes ou un sous corps deC.

1 ( K [X ], + , · )

1.1 Définitions

Définition(Définition d’un polynôme). On appelle polynôme formel à coefficients dansK(ou poly- nôme à une indéterminéeX) toute suite infinie d’éléments deKnotée (a0,a1, . . . ,an, . . .), avec∀i∈N ai∈K, telle qu’à partir d’un certain rang tous les éléments de la suite sont nuls.

On noteraP=(a0,a1, . . . ,an, . . .). Lesaisont les coefficients dePeta0est appelé terme constant.

On noteK[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dansK.

Polynôme nul.C’est le polynôme tel que∀i∈N,ai=0 et on le note 0_K[X].

Définition(degré et valuation). SoitP=(a0,a1, . . . ,an, . . .)∈K[X] un polynôme non nul.

Le degré dePest le plus grand indicen∈Ntel quean6=0 et pour toutk>non aa_k=0. On le note deg(P).

La valuation dePest le plus petit indiceitel queai6=0 et si il existek∈Naveck<ialorsak=0. On le note val(P).

Propriété. SiP=(a0,a1, . . . ,an, . . .)∈K[X] un polynôme non nul, alors : –∀k>degP on aa_k=0

– si valP≥1 alors∀0≤k<valPon aa_k=0 – valP≤degP

– valP=degP⇔P=(0, . . . , 0,an(6=0), 0, . . . , 0, . . .). Dans ce casPest appelé monôme.

Convention pour le polynôme nul.Pour le polynôme, il est d’usage de considérer val(0_K[X])= +∞ deg(0_K[X])= −∞.

Égalité de deux polynômes.Les deux polynômesP =(a0,a1, . . . ,an, . . .) etQ =(b0,b1, . . . ,bn, . . .) sont égaux (on écritP=Q) si et seulement siai=bipour touti∈N.

1.2 Opérations sur les polynômes – structure de _K[X] Dans la suite,P=(a₀,a₁, . . . ,a_n, . . .) etQ=(b₀,b₁, . . . ,b_n, . . .).

Somme dePetQ.Le polynôme somme dePetQ, notéP+Qest égal à (a0+b0,a1+b1, . . . ,an+bn, . . .).

P+Qest un polynôme car pour toutk>max(degP, degQ) on aa_k+b_k=0.

Cette addition est une loi de composition interne qui procure àK[X] une structure de groupe abé- lien, (K[X],+). L’élément neutre pour cette loi est le polynôme nul 0_K[X]et le symétrique deP pour cette addition est le polynôme noté−Pdéfini par−P=(−a0,−a1, . . . ,−an, . . .).

Multiplication interne dePetQ.On poseP×Q=PQ=(c₀,c₁, . . . ,cn, . . .) défini par

∀k∈N, c_k=

k

X

i=0

aib_k−i.

PQest un polynôme car sik>degP+degQalorsc_k=0. Il suffit de remarquer que sii∈{0, . . . ,k} (avec k>degP+degQ) alorsi ≤degP ⇒k−i≥k−degP>degQ⇒bk−i=0 eti>degP⇒ai=0, ce qui donne dans tous les casaib_k−i=0, d’oùc_k=0.

On démontre que siP,QetRsont des polynômes alorsPQ=QP, (PQ)R=P(QR) et (P+Q)R=P R+ QR. De plus la relation (à vérifier) (1, 0, . . . , 0, . . .)P=P(1, 0, . . . , 0, . . .)=Pnous montre que (1, 0, . . . , 0, . . .) est l’élément neutre pour la multiplication interne.

Conclusion.(K[X],+,·) est un anneau commutatif unitaire.

Proposition. SiPetQsont deux polynômes non nuls alors deg(PQ)=degP+degQ.

Preuve. On sait déjà que sik≥degP+degQ+1 alorsck=0. Posonsn=degP,m=degQet montrons quecn+m=anbm. D’après la définitioncn+m =P_n+m

k=0 a_kb_n+m−k. Or d’après la définition du degré on a :

– k<degP ⇒ n+m−k>m ⇒ bn+m−k=0 –k>degP ⇒ ak=0

–k=degP ⇒ akbn+m−k =anbm, ce qui donne le résultat. Ainsic_n+m =anbm 6=0 (caran 6=0 et bm6=0), d’où deg(PQ)=degP+degQ.

Conséquence. (K[X],+,·) est un anneau commutatif intègre unitaire.

Multiplication par un scalaire.Siλ∈Kon définit le polynôme λP=(λa0,λa1, . . . ,λan, . . .).

1.3 Notation définitive

PosonsX=(0, 1, 0, . . . , 0, . . .). On obtient par calcul queX²=(0, 0, 1, . . . , 0, . . .),X³=(0, 0, 0, 1, . . . , 0, . . .), etc. Identifions les constantesα∈Kavec le polynôme (α, 0, 0, . . . , 0, . . .) (on peut remarquer que cette identification est compatible avec la multiplication interne et externe, i.e.αP =(α, 0, 0, . . . , 0, . . .)P). La structure d’anneau de (K[X],+,·) permet alors d’écrire le polynômeP=(a₀,a₁, . . . ,an, . . .) sous la forme et en posantn=degP

P=a₀+a₁X+a₂X²+ · · · +anXⁿ+( termes nuls)=a₀+a₁X+a₂X²+ · · · +anXⁿ=

n

X

k=0

a_kX^k. Nous adopterons désormais cette écriture pour les polynômes.

Les polynômes de degré 0 s’appellent les constantes.

Définition. SoitP=anXⁿ+ · · · +a1X+a0un polynôme de degrén(i.e.an6=0). Alorsan s’appelle le coefficient dominant deP etanXⁿs’appelle le monôme de plus haut degré deP. Sian=1 on dit que le polynôme est unitaire.

2 Les deux divisions de polynômes dans _K [X ]

On retrouve les définitions de « divisibilité » dans un anneau intègre.

Définition. Soient deux polynômes non nulsAetB. On dit queBdiviseA, ouAest multiple deBs’il existeQ∈K[X] \ {0_K[X]} tel queA=BQ. On écrit aussi queB|A.

Propriété. ∀A∈K[X] avecA6=0 on aA|A.

∀A,B,C,D∈K[X] \ {0_K[X]} : SiA|BetB|CalorsA|C.

SiA|BetA|CalorsA|(B+C).

SiA|BetC|DalorsAC|B D.

SiI désigne l’ensemble des multiples deB, i.e.I =BK[X]=K[X]B={BQ;Q∈K[X]} alorsI vérifie les deux propriétés,

(1)∀P∈K[X],∀Q∈I,PQ∈I (2)∀Q₁,Q₂∈I,Q₁−Q₂∈I.

2.2 Division euclidienne

Théorème. Soient deux polynômes non nulsAetB. Il existe un unique couple (Q,R) de polynômes de K[X] tel queA=BQ+Ret (degR<degBou bienR=0_K[X]). Déterminer ce couple (Q,R) c’est effectuer la division euclidienne du polynômeApar le polynômeB.

Preuve. Montrons tout d’abord l’existence d’un tel couple. Si degA<degBalors le couple (0_K[X],A) convient.

Si degA≥degB, posonsn=degAetm=degB. Les polynômesAetBs’écrivent alors A=anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+ · · · +a₁X+a₀ avecan6=0,

B=bmX^m+bm−1X^m−1+ · · · +b1X+b0 avecbm6=0.

Commen≥m, posonsQ1=_b^a_mⁿX^n−m. Ainsi le polynômeR1définie parR1=A−BQ1est de degré au plusn−1. Deux cas sont alors possibles.

1er cas : degR1<degB. AlorsA=BQ1+R1et le couple (Q1,R1) convient.

2ème cas : degR1≥degB. On continue le procédé en considérantR1etBet en posant Q2=coefficient de plus haut degré deR1

bm

X^degR1−m.

Le polynômeR2défini parR2=R1−BQ2est de degré strictement plus petit que degR1. De la même façon que précédemment ou bien degR2<degBet alors (Q1+Q2,R2) convient, ou bien on continue le procédé. En itérant on obtient ainsi :

R₁=A−BQ₁ avec degR₁<degA;

R2=R1−BQ2 avec degR2<degR1;

... ...

Rk=Rk−1−BQk avec degRk<degRk−1.

On construit une suite finie de polynômesRi, dont les degrés sont décroissants d’au moins une unité à chaque étape. Au bout d’un nombre fini d’étapes on obtientk∈Ntel que (degR_k<degB ou bien R_k=0_K[X]) et degR_k−1≥degB. D’oùA=B(Q₁+Q₂+ · · · +Q_k)+R_k et degR_k<degB.

Montrons l’unicité d’un tel couple. SoientQ,R,S,T ∈K[X] tels que A=BQ+R, A=B S+T, degR<

degB et degT <degB. Si R=T alors B(Q−S)=0 et commeK[X] est un anneau intègre etB6=0 on en déduit queQ=S. Supposons queR6=T et montrons que l’on aboutit à une contradiction. En effet siR−T 6=0 alorsB(Q−S)6=0, d’où deg(B(Q−S))=degB+deg(Q−S)≥degB. Or nous avons deg(T−R)≤max(degT, degR)<degB, d’où la contradiction puisqueT−R=B(Q−S).

Exemple : SoientA=3X⁵+4X²+1 etB=X²+2X+3.

3X⁵ +4X² +1 X²+2X+3

− 3X⁵+6X⁴+9X³ 3X³−6X²+3X+16

−6X⁴−9X³ +4X² +1

− −6X⁴−12X³−18X²

3X³ +22X² +1

− 3X³ +6X² +9X 16X² −9X +1

− 16X² +32X+48

−41X−47 DoncQ=3X³−6X²+3X+16 etR= −41X−47.

2.3 Division suivant les puissances croissantes de X à l’ordre k, k∈N

Théorème. Soient deux polynômes non nuls A etB tels que valB =0 (i.e. le coefficient “constant”

deBest non nul) etk un élément deN. Il existe un unique couple (Q,R) d’éléments deK[X] tel que A=BQ+X^k+1RavecQ=0 ou degQ≤k. Déterminer le couple (Q,R) c’est effectuer la division de A parBsuivant les puissances croissantes deX à l’ordrek.

Preuve. Montrons tout d’abord l’existence. Posonsi=valA,n=degAetm=degB. Les polynômesA etBs’écrivent alors

A=aiXⁱ+a_i+1Xⁱ⁺¹+ · · · +anXⁿ avecan6=0, ai6=0 B=b0+b1X¹+ · · · +bmX^m avecbm6=0, b06=0(valB=0).

Distinguons 2 cas.

1er cas : valA>k. PosonsR0 =aiX^i−(k+1)+ · · · +anX^n−(k+1). On a A =X^k+1R0 et le couple (0,R0) convient.

2ème cas : valA≤k. PosonsQ₁=^a_b0ⁱXⁱetR₁=A−BQ₁. Il est facile de vérifier que valR₁>valAet que degQ1=valA≤k.

Si valR1>kalorsR1s’écritR1=X^k+1S1, avecS1∈K[X], ce qui donneA=BQ1+X^k+1S1et le couple (Q₁,S₁) convient.

Si valR1≤kposonsQ2=terme de plus bas degré deR1

b0 etR2=R1−BQ2. On a degQ2=valR1et valR2>valR1. Dans le cas où valR2>kon obtientR2=X^k+1S2avecS2∈K[X], d’oùA=B(Q1+Q2)+X^k+1S2et le couple (Q₁+Q₂,S₂) convient. Sinon on continue le procédé. . . Ainsi de suite on construit

BQ1=R1 avec degQ1=valA, valR1>valA;

R₁−BQ₂=R₂ avec degQ₂=valR₁, valR₂>valR₁;

... ... ...

Rk−1−BQk=Rk avec degQk=valRk−1, valRk>valRk−1.

tels que la valuation deRicroît au moins d’une unité à chaque étape. Au bout d’un nombre fini d’opé- rations on aura valRk−1≤k, valRk >k et A=B(Q1+Q2+ · · · +Qk)+Rk. Comme chaqueQi est un monôme de degré au plusk,Q=Q1+Q2+ · · · +Qkest de degré au plusk. Comme valRk≥k+1, on a R_k=X^k+1RavecR∈K[X]. Ainsi le couple (Q,R) convient.

Montrons l’unicité de ce couple. Supposons que A=BQ+X^k+1S, A=B S+K^k+1T avec degQ≤ket degS≤k. AlorsB(Q−S)=X^k+1(R−T). SiR=T on obtient queB(Q−S)=0, d’oùQ =S. SiR6=T alorsB(Q−S)6=0 et val(B(Q−S))=valB+val(Q−S)≤valB+deg(Q−S)≤k; ce qui conduit à une contradiction puisqueX^k+1(R−T)6=0 entraîne que val(X^k+1(R−T))=valX^k+1+val(R−T)≥k+1.

Finalement on obtient queR=T etQ=S.

Exemple : Soit A=2+4X²+X³ etB=1+2X+3X²et effectuons la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3. Nous avons pris d’exprimer les polynômesAetBsuivant les puissances crois- santes.

2 +4X² +X³ 1+2X+3X²

− 2 +4X+6X² 2−4X+6X²+X³

−4X−2X² +X³

− −4X−8X²−12X³ 6X² +13X³

− 6X² +12X³+18X⁴ X³ −18X⁴

− X³ +2X⁴+3X⁵

−20X⁴−3X⁵ D’où

2+4X²+X³=(2−4X+6X²+X³)(1+2X+3X²)+X⁴(−20−3X)

Preuve.CommeA etBsont non nuls il est clair queI n’est pas réduit à {0}. On démontre facilement queI vérifie les propriétés (1) et (2). PosonsA ={degR;R∈IetR6=0}.A est une partie non vide de Net admet donc un plus petit élément notéα. SoitP ∈I tel que degP =α(avecP 6=0) et tel queP soit unitaire (on remarque ici que l’on peut toujours “rendre”P unitaire avec (1) car∀λ∈KλP∈I et il suffit alors de choisirλ=1/a_αaveca_αle coefficient du terme de plus haut degré deP).

Montrons que∀R∈I avecR6=0 alorsP diviseR. En effet effectuons la division euclidienne deR parP. Soit (Q,S) le couple d’éléments deK[X] tel queR=QP+Set degS<degP. CommeRetPsont éléments deIon déduit de (1) et (2) queR−QP∈Iet ainsiS∈I. Comme degS<degPla définition du degré deP entraîne queS=0. Ainsi on aR=QPetPdiviseR.

3 _K [X ] anneau principal - PGCD - PPCM - irréductible

Théorème. K[X] est un anneau principal. De plus pour tout idéal I il existe un unique polynôme unitaireDtel queI=DK[X] (on a choisi un représentant particulier : le polynôme unitaire).

Démonstration. SupposonsI6={0_K[X]} et posons T =©

deg(A) ;A∈IetA6=0K[X]ª .

T est une partie non vide deNet admet donc un plus petit élément que nous noteronsn. Traitons le casn=0 etn≥1.

1er cas :n=0.Cela entraîne queI contient au moins un polynôme constant, donc un élémentα∈K avecα6=0. En utilisant la structure d’idéal, siQest un polynôme quelconque, on aQ=^Q_α×α∈I. Ainsi I=K[X].

2ème cas :n≥1.SoitP ∈I tel que degP =n (avecP 6=0) et tel queP soit unitaire (on remarque ici que l’on peut toujours “rendre”Punitaire avec la propriété « être un idéal » car∀λ∈KλP∈Iet il suffit alors de choisirλ=1/anavecanle coefficient du terme de plus haut degré deP).

CommeP∈Iet commeIest un idéal, on obtient quePK[X]⊂I.

Réciproquement, soitBun élément deIet montrons quePdiviseB. Pour cela effectuons la division euclidienne deBparP: soit (Q,R) le couple d’éléments deK[X] tel queB=QP+Ravec degR<degP ouR=0. SiR6=0 alors le polynômeR=B−PQappartient àI (B∈I,PQ∈I etI sous groupe pour l’addition). Ainsi siR6=0, comme degR <degP =n etR∈I, on obtient une contradiction avec la définition den. DoncR=0 etP diviseB, ce qui donneI⊂PK[X].

FinalementI=PK[X], l’existence est démontrée.

Pour démontrer l’unicité, considéronsD₁etD₂polynômes unitaires tels queI=D₁K[X]=D₂K[X].

CommeD1K[X]=D2K[X] on obtient queD1diviseD2et queD2diviseD1. Ainsi il existeQ1etQ2non nuls tels queD1=Q1D2etD2=Q2D1, ce qui donneD1=Q1Q2D1et deg(D1)=deg(Q1)+deg(Q2)+ deg(D1). Ainsi on obtient que nécessairementQ1etQ2sont des polynômes constants. CommeD1et D2sont unitaires on en déduit queD1=D2.

Remarque. Au passage nous avons démontré que les seuls inversibles deK[X] sont les constantes (ou polynômes constants).

CommeK[X] est un anneau principal, on retrouve alors les définitions de PGCD, PPCM, polynôme irréductible, polynômes premiers entre eux, le théorème de Bezout ainsi que les lemmes de Gauss, d’Euclide. Les PGCD et PPCM sont uniques si l’on choisit le représentant unitaire.

Comme nous disposons d’une division euclidienne, nous avons un algorithme d’Euclide pour le cal- cul du PGCD.

Algorithme d’Euclide.SoientAetBdeux polynômes non nuls tels que degA≥degB.

Effectuons la division euclidienne deAparB. SoientQ1etR1tels queA=BQ1+R1et degR1<degB.

1er cas :R1=0. On en déduit alors queBdiviseAet ainsi pgcd(A,B)=λBavecλ∈K^∗tel queλBsoit unitaire.

2ème cas :R16=0. CommeA−BQ1=R1, on en déduit que pgcd(A,B) diviseR1d’où pgcd(A,B) diviseB etR₁. De la même façon pgcd(B,R₁) diviseBQ₁+R₁=A, d’où pgcd(B,R₁) diviseBetA. Les propriétés du pgcd entraînent que pgcd(A,B)=pgcd(B,R1). On continue alors le procédé en effectuant la division euclidienne deBparR1: soientQ2etR2tels queB=R1Q2+R2et degR2<degR1. SiR2=0 on obtient pgcd(B,R₁)=λR₁(avecλ∈K^∗tel queλR₁unitaire) sinon pgcd(B,R₁)=pgcd(R₁,R₂) et on continue. . .

On construit ainsi de suite

A=BQ₁+R₁ avec degR₁<degBet pgcd(A,B)=pgcd(B,R₁);

B=R1Q2+R2 avec degR2<degR1et pgcd(B,R1)=pgcd(R1,R2);

... ... ...

R_k−1=R_kQ_k+1+R_k+1 avec degR_k+1<degR_ket pgcd(R_k−1,R_k)=pgcd(R_k,R_k+1).

La suite des polynômesRkest une suite dont le degré de chaque terme diminue d’au moins une unité à chaque étape. Au bout d’un nombre fini de divisions il existektel queRk+1=0 etRk6=0. La construc- tion nous donne alors pgcd(A,B)=pgcd(B,R₁)= · · · =pgcd(R_k−1,R_k)=λR_k avecλ∈K^∗tel queλR_k unitaire.

Remarque.Si le dernier reste non nulRkest de degré zéro, i.e.Rkest une constante, on obtient pgcd(A,B)= 1.

ExempleSoientA=2X⁵+2X⁴+X³+1 etB=3X⁴+X³−3X−1. Successivement on calcule A=¡2

3X+4 9

¢B+5

9X³+2X²+2X+13 9 B=¡27

5 X−441 25

¢¡5

9X³+2X²+2X+13 9

¢+612

5 (X²+X+1) 5

9X³+2X²+2X+13 9 =¡5

9X+13 9

¢(X²+X+1)+0 Donc pgcd(A,B)=X²+X+1.

Théorème. Tout polynôme unitaire non irréductible peut s’écrire de manière unique (à l’ordre près) sous forme d’un produit de polynômes unitaires et irréductibles.

Preuve.Soit P ∈K[X] unitaire et non irréductible. CommeP n’est pas irréductible soient P₁ etQ₁ deux polynômes unitaires tels que P =P1Q1 avecP1 6=P,Q1 6=P. SiP1 etQ1 sont irréductibles la décomposition est terminée. Dans le cas contraire siP1ouQ1(ou les deux) sont non irréductibles on recommence. On a degP₁<degP et degQ₁<degP. On écrit (par exemple)P₁ =P₂P₃. . . A chaque nouvelle étape le degré des polynômes écrits est majoré par degP, minoré par 1 et décroît d’au moins 1. Au bout d’un nombre fini d’opérations on auraP =R1R2· · ·Rs avecRi unitaire et irréductible pour tout 1≤i≤s.

Montrons l’unicité. Supposons queP=R₁R₂· · ·R_s=Q₁Q₂· · ·Q_k avecR_iunitaire et irréductible (1≤ i ≤s),Qi unitaire et irréductible (1≤i ≤k). D’après le lemme d’EuclideR1divise au moins l’un des facteurs irréductiblesQi. Quitte à renuméroter les polynômesQi on peut supposer queR1diviseQ1. PuisqueQ₁est irréductible etR₁non constant, il existeλ∈K^∗tels queR₁=λQ₁. Les polynômesR₁et Q1étant unitaires on en déduit queR1=Q1. Par récurrence on démontre quek=set, à une renumé- rotation près des polynômesQi, queQi=Ripour tout 1≤i≤s.

Application.SoitP∈K[X]^∗avecn=degP≥1. Le polynômePs’écrit P=anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹· · · +a₁X₁+a₀=an

³Xⁿ+an−1

an

Xⁿ⁻¹+ · · · +a₁ an

X+a₀ an

´ (caran6=0)

Le polynômeXⁿ+^a_aⁿ_n⁻¹Xⁿ⁻¹+ · · · +^a_an¹X+_a^a0_n étant unitaire, le théorème de décomposition en facteurs unitaires et irréductibles entraîne queP=anR₁· · ·RsavecR_iunitaire irréductible (1≤i≤s).

Remarque.SiPest un polynôme unitaire non irréductible on démontre grâce au théorème précédent queP s’écrit sous la formeP =R₁^α1· · ·R_k^αk avecR₁, . . . ,R_k polynômes unitaires et irréductibles deux à deux distincts etα1. . . ,αk éléments deN^∗(on a juste regroupé les facteurs irréductibles égaux).

Polynômes de degré1.Tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles. En effet siPest un polynôme de degré 1 et queP=RQavecR∈K[X]^∗etQ∈K[X]^∗, on a 1=degP=degQ+degR, donc ou bienQ est de degré 0 (Qest une constante), ou bienQest de degré 1 et dans ce casRest une constante, ce qui donneP=λQ. Les diviseurs dePsont donc bien les constantes ou de la formeλP.

Sia,b∈Keta6=balors les polynômes (X−a) et (X−b) sont premiers entre eux. En effet il suffit de remarquer que_b−¹_a(X−a)+_a−¹_b(X−b)=1 et d’appliquer le théorème de Bezout.

4 Racines d’un polynôme

Définition(Fonction polynôme). À tout polynômeP=anXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+ · · · +a1X+a0on associe la fonction polynômefPdéfinie deKdansKparfP(x)=anxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+ · · · +a1x+a0(la structure de corps deKjustifie l’existence l’expression) pour toutx∈K.

Remarque. Dans la suite on noteraP(x),x∈Kpour la fonction polynômefP(x).

Remarque. La distinction entrePet la fonction polynômefPest très importante. En effet, dansZ/2Z[X] (qui est hors programme ici, polynôme à coefficients dans un corps fini), le polynômeP=X²−X est un polynôme non nul alors quef_Pest la fonction nulle.

Définition. SoitP un polynôme non nul deK[X] etaun élément deK. On dit queaest zéro deP (ou est racine deP) si la fonction polynôme associée àP s’annule ena, i.e.P(a)=0.

Théorème. SoitP ∈K[X]^∗ eta ∈K. Le polynômeP admeta comme zéro si et seulement si (X−a) diviseP.

Preuve.SiPest divisible parX−aalors il existeQ∈K[X] tel queP=Q·(X−a), ce qui entraîneP(a)=0.

Réciproquement supposons queaest racine deP. Effectuons la division euclidienne deP par (X−a) : soient (Q,R) éléments deK[X] tels queP=Q·(X−a)+Ret degR<1. Le polynômeRest ou bien nulle ou bien un polynôme constant,λavecλ∈K^∗. Commeaest racine deP on obtient queR(a)=λ=0 et ainsiR=0 etP est divisible par (X−a).

Ordre de multiplicité d’une racine. SoitP un polynôme non nul deK[X] eta un zéro deP. SiP = (X−a)·Q1avecQ1(a)6=0 on dit queaest une racine simple ou d’ordre 1 deP. SiP=(X−a)²·Q2avec Q2(a)6=0,aest racine double ou d’ordre 2 deP. . . SiP=(X−a)^k·Q_kaveck∈N^∗,k>1 etQ_k(a)6=0,a est racine d’ordre (ou de multiplicité)kdeP.

Théorème. SoitP un polynôme non nul deK[X] admettant les racines distinctesa₁,a₂, . . . ,a_k, ces racines admettant pour ordre de multiplicitém1,m2, . . . ,mk (∀i∈{1, . . . ,k}mi∈N^∗). Alors

P=(X−a1)^m1(X−a2)^m2· · ·(X−a_k)^mkT avecT∈K[X]^∗et pour touti∈{1, . . . ,k},T(ai)6=0.

Preuve.(Par récurrence) Le résultat est vrai pour une seule racine de multiplicitém.

Supposons le résultat vrai pourk−1 racines distinctes de multiplicitém1,m2, . . . ,mk−1. DoncPs’écrit P=(X−a1)^m1(X−a2)^m2· · ·(X−a_k−1)^mk−1T

avecT ∈K[X]^∗et pour touti∈{1, . . . ,k−1}T(ai)6=0. D’autre partP admetak comme racine de mul- tiplicitémk, ce qui donneP=(X−ak)^mkSavecS∈K[X]^∗etS(ak)6=0. On a donc

(X−a_k)^mkS=(X−a₁)^m1(X−a₂)^m2· · ·(X−a_k−1)^mk−1T. (1)

Les polynômes (X−a1), (X−a2), . . . , (X−a_k) sont des polynômes premiers et sont premiers entre eux deux à deux puisque lesa_isont distincts. Ainsi (X−a_k) est premier avec (X−a_i) pour touti∈{1, . . . ,k− 1}, d’où (X−ak)^mk est premier avec (X−ai)^mi pour touti ∈{1, . . . ,k−1}. Finalement (X−ak)^mk est premier avecQ_k−1

i=1(X−ai)^mi. L’égalité (1) et le théorème de Gauss impliquent alors que (X−a_k)^mk diviseT. DoncT =(X−a_k)^mkU avecU ∈K[X]^∗. On conclut queP =(X−a₁)^m1(X−a₂)^m2· · ·(X− ak)^mkU avecU ∈K[X]^∗. Pour touti ∈{1, . . . ,k−1},T(ai)6=0 entraîne queU(ai)6=0. De plus on a S=£ Q_k−1

i=1(X−ai)^mi¤

U, ce qui donneS(a_k)=£ Q_k−1

i=1(a_k−ai)^mi¤

U(a_k) et ainsiS(a_k)6=0 entraîne que U(a_k)6=0.

Corollaire. Un polynôme de degrén(n∈N^∗) admet au plusnracines.

5 Polynômes à coefficients complexes

Nous admettrons le résultat suivant,

Théorème(Théorème de d’Alembert–Gauss). Tout polynôme dansC[X] de degré plus grand que 1 admet au moins une racine dansC.

Corollaire. Les seuls polynômes irréductibles deC[X] sont les polynômes de degré 1.

Théorème. SoitP∈C[X]^∗de degrénavecn≥1. Il existea1, . . . ,an∈Cetλ∈C^∗tel queλest le coeffi- cient dominant dePet

P=λ(X−a₁)· · ·(X−a_n).

Preuve.Si P est de degré 1 alors le problème est résolu. Si n ≥2, soit λle coefficient du terme de plus haut degré deP (¹_λP est alors unitaire). En utilisant le théorème de décomposition en facteurs irréductibles, soientR1, . . . ,Rs polynômes unitaires et irréductibles deC[X]tels queP=λR1· · ·Rs. Pour touti ∈{1, . . . ,s}, le polynômeRi étant irréductibles (dansC[X]), soitai ∈Ctel queRi =X−ai. On obtient donc queP=λ(X−a₁)· · ·(X−as). Il est clair que deg¡

(X−a₁)· · ·(X−as)¢

=s, d’oùs=n.

Dans le théorème précédent on obtient donc que tout polynôme deC[X]possèdenracines distinctes ou non (i.e. comptées avec leur ordre de multiplicité). SiPest un polynôme deC[X]de degrénavecn≥ 1 (en distinguant les racines) on obtient qu’il existea₁, . . . ,a_p∈Cdeux à deux distincts,m₁, . . . ,m_p∈N^∗ tels que

P=λ(X−a1)^m1· · ·(X−ap)^mp oùλest le coefficient dominant deP etm₁+m₂+ · · · +m_p=n.

6 Polynômes à coefficients réels

Commençons par remarquer que dansR[X], l’ensemble des polynômes irréductibles n’est pas réduit aux seuls polynômes de degré 1. En effet considérons le polynômeX²+1 (dansR[X]). SiX²+1 est non irréductible dansR[X], il est alors produit de deux polynômes réels de degré 1 et ainsi il admet deux racines réelles ce qui est faux puisquex²+1≥1 pour toutx∈R.

Pour déterminer précisément les polynômes réels irréductibles nous allons utiliser les résultats pré- cédents sur les polynômes complexes puisque tout polynôme réel peut être considéré comme poly- nôme complexe.

Proposition. SoitP∈R[X]^∗. Alors pour toutz∈C,P¡ z¢

=P(z) (iciP(·) désigne ici la fonction polynôme Pconsidéré comme élément deC[X]).

Preuve.Soit P =Pn

k=0akX^k avecn=degP (i.e. an 6=0) et ai ∈Rpour touti ∈{0, . . . ,n} et soit z∈ C. Commeak ∈R(pour toutk∈{0, . . . ,n}), on aak(z)^k =akz^k =¡

akz^k). DoncP¡ z¢

=Pn

k=0ak(z)^k = Pn

k=0

¡a_kz^k)=P(z).

Corollaire. SoitP∈R[X] de degré plus grand ou égal à 1. Si dansC[X],Padmet la racine non réelleα de multiplicitékalorsPadmet la racine non réelleαde multipliciték.

Théorème. DansR[X], les polynômes unitaires et irréductibles sont les polynômes de degré 1 (i.e.

X−aaveca∈R) et les polynômes de degré 2 du typeX²+αX+βavec (α,β)∈R²tel queα²−4β<0.

Preuve.Le polynômeX²+αX+βavec (α,β)∈R²) est irréductible dansR[X] si et seulement siα²−4β<

0 (ce résultat vient du fait queX²+αX+βadmet au moins une racine réelle si et seulement siα²−4β≥ 0). Montrons maintenant que tout polynôme réelP, de degré plus grand que 3 est non irréductible dansR[X]. D’après le théorème de d’Alembert–Gauss,P admet au moins une racine complexe, noté α. Siαn’est pas réelle, alorsαest racine deP (P est élément deR[X]). DoncP=(X−α)(X−α)·Q= (X²−(α+α)X+αα)·QavecQ∈C[X]. Le polynômeX²−(α+α)X+ααest à coefficients réels puisque α+α=2ℜ(α)∈Retαα= |α|²∈R. En prenant soin de distinguer les cas|α|²=0 et|α|²6=0, on démontre (exercice) en étudiant les coefficients (a priori complexes) du polynômeQque ceux-ci sont en fait des réels. Ainsi si la racineαn’est pas réelle,P est le produit de deux polynômes à coefficients réels et n’est donc pas irréductible dansR[X].

7 Polynôme dérivé

Définition. SoitPun polynôme deK[X] de degrénavecn≥1.Ps’écrit alorsP=

n

X

k=0

akX^kavecan6=0.

On appelle polynôme dérivé deP, que l’on noteP⁰, le polynôme

n

X

k=1

kakX^k−1. SiPest le polynôme nul ou un polynôme constant, par définition le polynôme dérivé est 0_K[X].

Propriété. Pour toutλ∈K, pour toutP,Q éléments deK[X] on a : (P+Q)⁰=P⁰+Q⁰, (λP)⁰=λP⁰ et (P·Q)⁰=P⁰Q+PQ⁰.

Dérivée successiveNotons D l’application deK[X] dansK[X] qui à tout polynômeP deK[X] fait correspondre le polynôme dérivéP⁰ deK[X]. Notons encore D¹=D, D◦D=D². . . et pour toutk≥2, D^k=D◦D^k−1. Pour toutPéléments deK[X] on définit D^k(P)=P^(k)qui est le polynôme dérivék–ième deP.

Soit le monôme normaliséXⁿ avecn≥1. On a D(Xⁿ)=nXⁿ⁻¹, D²(Xⁿ)=n(n−1)Xⁿ⁻². Pour tout k<n, on démontre (par récurrence) que D^k(Xⁿ)=n(n−1)· · ·(n−k+2)(n−k+1)X^n−k. Sik =n on obtient Dⁿ(Xⁿ)=n! et sik>non a D^k(Xⁿ)=0. Pourk≤non écrit aussi que D^k(Xⁿ)=_(n^n!_−k)!X^n−k.

Avec les propriétés de la dérivation, si le polynômeP=Pn

i=0aiXⁱ, on établit que les dérivées succes- sives dePsont données par :

sik≤nalors D^k(P)=P^(k)=

n

X

i=k

i(i−1)· · ·(i−k+1)X^i−ka_i ( ce qui donne pourk=n,P⁽ⁿ⁾=a_nn!) ; sik>nalors D^k(P)=P^(k)=0

Formule de Leibniz.Pour toutP,Qéléments deK[X] et pour toutn∈N^∗: (PQ)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0

C_n^kP^(k)Q^(n−k)

Formule de Taylor pour un polynôme.SoitP un polynôme deK[X] tel que degP=n. Soita un élé- ment quelconque deK. On appelle formule de Taylor appliquée àPenal’égalité

P=

n

X

k=0

P^(k)(a)(X−a)^k k!

oùP^(k)(a) désigne la valeur prise par la fonction polynôme associée au polynôme dérivék–ième au pointa.

Poura=0 c’est la formule de Mac–Laurin. Avec l’expression des dérivées successives du polynôme P=Pn

k=0a_kX^kon démontre queP^(k)(0)=k!a_k, d’où l’égalité quanda=0. Dans le cas général, posons Q=P◦(X+a). Par récurrence on prouve que pour toutk≤degP,Q^(k)=P^(k)◦(X+a). Comme degQ= degP=n, en appliquant la formule de Mac–Laurin au polynômeQon obtient

Q=

n

X

k=0

Q^(k)(0) k! X^k=

n

X

k=0

P^(k)(a) k! X^k. Ajoutons queQ◦(X−a)=¡

P◦(X+a)¢

◦(X−a)=P◦(X)=Pet on obtient le résultat.

Racine multiple et polynômes dérivés.

SoitPun polynôme deK[X] admettantacomme racine de multiplicitékaveck>1. AlorsP⁰admet a comme racine de multipliciték−1. En effet le polynômeP s’écritP =(X−a)^kQ avecQ ∈K[X] et Q(a)6=0. DérivonsP :P⁰=k(X−a)^k−1Q+(X−a)^kQ⁰=(X−a)^k−1¡

kQ+(X−a)Q⁰¢

et on a¡

kQ+(X− a)Q⁰¢

(a)=kQ(a)6=0, ce qui prouve queaest racine deP⁰ de multipliciték−1. Réciproquement on peut prouver que siaest racine dePet deP⁰,kétant l’ordre de multiplicité dearacine deP⁰alorsk+1 est l’ordre de multiplicité dearacine deP.

Théorème. SoitPun polynôme non nul deK[X].Padmetacomme racine de multipliciték(k∈N^∗) si et seulement si les polynômeP,P⁰, . . . ,P^(k−1)admettentacomme racine etP^(k)n’admet pasacomme racine.

Preuve.SiPadmetacomme racine d’ordrekalors :P⁰admetacomme racine d’ordrek−1,P⁰⁰admeta comme racine d’ordrek−2, . . . ,P^(k−1)admetacomme racine d’ordre 1. De plusP^(k)ne peut admettre acomme racine car sinonaserait racine d’ordre au moinsk+1 deP. Réciproquement, supposons que aest racine deP,P⁰, . . . ,P^(k−1)et ne l’est pas deP^(k). Appliquons la formule de Taylor àPena(on pose n=degP) :

P=

n

X

i=0

P⁽ⁱ⁾(a)

i! (X−a)ⁱ.

CommeP⁽ⁱ⁾(a)=0 pour touti∈{0, . . . , (k−1)},Pse factorise sous la formeP=(X−a)^kT avec T= 1

k!P^(k)(a)+(X−a)

(k+1)!P^(k+1)(a)+ · · · +(X−a)^n−k

n! P⁽ⁿ⁾(a).

On a bienT∈K[X]^∗etT(a)=_k¹_!P^(k)(a)6=0. Nous avons donc démontré queaest racine de multiplicité kdu polynômeP.

8 Fractions rationnelles

Définition. Une fraction rationnelle est une expression P

Q oùP etQ sont deux polynômes deK[X] avecQ6=0.

Dans la pratique on identifie toujours une fraction rationnelle à sa forme irréductible. SoientP etQ deux éléments non nuls deK[X] et soitD=pgcd(P,Q). On a alorsP=P1D,Q=Q1D(et pgcd(P1,Q1)= 1) et on identifie la fraction rationnelle P

Q avec la fraction rationnelleP1

Q1

qui est une forme irréductible de P

Q.

On note parF_K[X]l’ensemble des fractions rationnelles_Q^P tels queP∈K[X],Q∈K[X]^∗. Définition. Soit P

Q une fraction rationnelle telle que pgcd(P,Q)=1.

1) Les racines deP sont appelées les zéros (ou les racines) de la fraction_Q^P. Siaest racine d’ordreh deP, on dit queaest zéro d’ordrehde la fraction rationnelle_Q^P.

2) Les racines deQsont appelées les pôles de la fraction_Q^P. Siaest racines d’ordrekdeQ, on dit que aest un pôle d’ordrekde la fraction rationnelle^P_Q.

L’ensemble des fractions rationnelles muni de l’addition (_Q^P1

1 +_Q^P2₂ =^P1Q_Q²₁^+P_Q2^2Q1), de la multiplication (_Q^P1

1·_Q^P2₂ =_Q^P1₁^P_Q²₂) possède une structure de corps commutatif.

Fonction rationnelle associée.Soit P

Q une fraction rationnelle avec pgcd(P,Q)=1. On lui associe alors la fonction rationnelle définie parP(t)

Q(t) pourt∈Ktel queQ(t)6=0.

8.1 Décomposition des fractions rationnelles à coefficients complexes Théorème. Soit P

Q une fraction rationnelle irréductible à coefficients complexes (i.e.P∈C[X] etQ∈ C[X]^∗et pgcd(P,Q)=1). Soienta1, . . . ,aples racines complexes distinctes deQ, de multiplicitém1, . . . ,mp

(miélément deN^∗est l’ordre de la racineai). Le polynômeQs’écrit donc Q=λ(X−a1)^m1· · ·(X−ap)^mp

avecλle coefficients dominant deQ. Alors il existe une décomposition unique de la fraction rationnelle

P

Q sous la forme

P

Q =T+ λm1

(X−a1)^m1 + λm1−1

(X−a1)^m1−1+ · · · + λ1

(X−a1) + αm₂

(X−a2)^m2 + αm₂−1

(X−a2)^m2−1+ · · · + α1

(X−a2) ...

+ µmp

(X−ap)^mp + µmp−1

(X−ap)^mp−1+ · · · + µ1

(X−ap),

oùT ∈C[X] et les coefficientsλm1, . . . ,λ1,αm2, . . . ,α1, etc,µmp, . . . ,µm1 sont éléments deC. On dit que la décomposition ci–dessus est la décomposition en éléments simples de_Q^P dansC[X].T est la partie entière de la décomposition et les termes_(X−a^λm1

1)^m1, . . . ,_(X^λ_−a¹

1), . . . sont appelés éléments simples.

Calcul des éléments simples dansC[X].

1)T est déterminé en effectuant la division euclidienne deP parQ. Soit le couple (R,S) deC[X]tel queP=SQ+Ravec degR<degQ. On a alors_Q^P =S+_Q^R et on poseT =S. Remarquons queT =0 dès que degP<degQ. Une foisT déterminé, il reste à décomposer la fraction rationnelle ^R_Q.

On suppose désormais que degP<degQce qui entraîneT=0. Considéronsaun pôle d’ordrende

P

Q. Le but est de déterminer les éléments simples de la décomposition relatifs au pôlea. Le polynômeQ s’écritQ=(X−a)ⁿCavecC∈C[X] etC(a)6=0. Admettons (ce résultat se démontre grâce au théorème précédent en utilisant l’existence et l’unicité de la décomposition en éléments simples de^P_Q) que

P

Q = P

(X−a)ⁿC = λn

(X−a)ⁿ + λn−1

(X−a)ⁿ⁻¹· · · + λ2

(X−a)²+ λ1

(X−a)¹+A

C (2)

avecA∈C[X] tel que degA<degC et tel que les coefficientsλ1, . . . ,λn sont les coefficients que l’on cherche.