Soit A un polynôme de degré 2 et n un entier supérieur ou égal à 2. On définit une application α par :

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Informatique 2012-2013 : TP 7 du 18/02 au 01/03 MPSI B Hoche

Partie I. Un calcul de primitive.

Soit A un polynôme de degré 2 et n un entier supérieur ou égal à 2. On définit une application α par :

α :







R

n

[X] → R

n+1

[X ] P 7→ 1

2 A

⁰

P + AP

⁰

1. (raisonnement mathématique) Montrer que les sous-espaces R

0

[X ] et Im( α) sont supplémentaires dans R

n+1

[X].

2. (raisonnement mathématique) Soit f ∈ R

n+1

[X ], montrer qu’il existe Φ dans R

n

[X ] et k réel tels que

Z

t

f (x)

p A(x) dx = Φ(x) p

A(x) + k

Z

t

dx p A(x)

3. (raisonnement mathématique) Soit f ∈ R

n+1

[X], expliquer comment on peut calculer Φ ∈ R

n

[X] et k ∈ R tels que f = α(Φ) + k.

4. Exemple

a. (sans Maple) Donner une expression logarithmique d’une primitive de

√ 1

x

²

+ 5x + 4

b. (avec Maple) En implémentant la méthode de la question 3. et en uti- lisant l’expression trouvée en 4.b., donner une primitive de

x

³

+ 7x

²

− 4x + 1

√ x

²

+ 5x + 4

Comparer avec l’expression renvoyée directement par la fonction int de Maple. Que pouvez vous en conclure ?

5. Former une procédure prenant comme paramètre un polynôme f en x et renvoyant Φ et k tels que f = α(φ) + k.

Partie II. Étude d’une suite.

On se propose d’étudier les suites définies par récurrence par u

0

= a, u

1

= b et u

_n+1

= 111 − 1130

u

n

+ 3000 u

n

u

n−1

1. Former une procédure suite(n,d,a,b)

renvoyant une évaluation numérique du n eme terme de la suite avec d chiffres significatifs. Examiner en particulier les résultats obtenus pour d valant 10, 20, 30 et n variant entre 5 et 40 avec les conditions initiales :

P e : a = 11/2 b = 61/11

P f : a = 5.5 b = 61/11

2. On interprète la suite précédente en itérant une transformation g du plan (privé de l’origine) dans lui même définie par :

lorsque M est le point de coordonnées (x, y), g(M ) est le point de coordonnées :

(y, 111 − 1130

y + 3000 xy )

On forme une suite de points en se donnant un point P

₀

et la relation de récurrence P

_n+1

= g(P

_n

).

Quel rapport avec le 1. ? Chercher les points fixes de g (utiliser solve).

Former une fonction g dont l’argument est la liste des coordonnées d’un point P et renvoyant les coordonnées du point g(P) dans une liste.

3. On veut montrer que si P

₀

= [11/2, 61/11] les P

_n

sont sur une même conique.

On considère une fonction de la forme

F = ax

²

+ by

²

+ cxy + dx + ey + f

avec des coefficients a,b, c, d, e, f arbitraires. Former et résoudre le système de 5 équations aux inconnues a,b, c, d, e, f traduisant que P

0

, P

1

, P

2

, P

3

, P

4

sont sur la ligne de niveau 0 de F. Montrer (en utilisant subs) que cette ligne de niveau est invariante par g.

4. Faire de jolis dessins pour comprendre ce qui se passe (en particulier la notion de "bassin d’attraction").

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai TP1208