Suites dénies par récurrence

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MPSI-Éléments de cours Suites dénies par récurrence 28 février 2020

Suites dénies par récurrence

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Vocabulaire - Résultats généraux . . . . 1

II. Fonctions monotones. . . . 1

1. Fonction croissante . . . . 1

2. Fonction décroissante. . . . 2

3. Conditions susantes de stabilité ou d'instabilité . . . . 2

III. Expressions particulières . . . . 2

1. Récurrence arithmético-géométrique . . . . 2

2. Récurrence homographique . . . . 2

3. Récurrence linéaire . . . . 2

Index

intervalle stable, 1

Obsolète transféré dans le cours sur les fonctions dérivables Cette section ne fait pas partie du programme de la classe de MPSI. Les résultats présentés ne doivent donc pas être utilisés directement surtout à l'écrit. L'objectif est de dégager certaines situations caractéristiques.

Le contexte général est l'étude de suites vériant une relation de récurrence du ype x n+1 = f (x n )

où f est une fonction dénie dans une partie de R et à valeurs réelles.

Les résultats présentés ici ne couvrent que des cas très particuliers et ne représentent absolument pas la complexité de la question.

I. Vocabulaire - Résultats généraux

Dénition. On dira qu'un intervalle I est stable pour une fonction f lorsque I est inclus dans l'espace de départ de f et que f (I) ⊂ I .

On dira que a appartenant à l'espace de départ d'une fonction f est un point xe de f lorsque f (a) = a .

Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f , pour toute condition initiale x 0 ∈ I , la suite (x n ) _n∈N est dénie pour tous les entiers n .

Dénition. On dira qu'un point xe a de f est stable (ou attractif) si et seulement si il est à l'intérieur d'un intervalle J stable pour f et tel que, pour toute condition initiale x ₀ ∈ J , la suite (x _n ) _n∈ _N converge vers a . Dénition. On dira qu'un point xe a de f est stable (ou attractif) si et seulement si il existe un intervalle J stable pour f tel que a est à l'intérieur de J et que, pour toute condition initiale x 0 ∈ J , la suite (x n ) _n∈N converge vers a .

Dénition. On dira qu'un point xe a de f est instable (ou répulsif) si et seulement si il existe un intervalle J tel que a est à l'intérieur de J et que, pour toute condition initiale x ₀ ∈ J , il existe un entier N (x ₀ ) tel que :

x ₀ ∈ J, x ₁ ∈ J, · · · , x _N(x

₀

₎₋₁ ∈ J, x _N(x

₀

₎ 6∈ J

Proposition. Lorsque la suite converge vers un réel a dans l'espace de départ de f et que f est continue en a , ce point a est un point xe de f .

Preuve. En eet, par continuité de f en a , (f (x n )) _n∈N converge vers f (a) mais cette suite est aussi égale à la suite extraite (x n+1 ) n∈ N qui converge vers a .

Dénition. Le bassin d'attraction d'un point xe a est formé par l'ensemble des conditions initiales x 0 pour lesquelles la suite (x n ) n∈ N converge vers a .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai C4792

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MPSI-Éléments de cours Suites dénies par récurrence 28 février 2020

II. Fonctions monotones

1. Fonction croissante

Fig. 1: Divergence monotone

Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f et que f est croissante sur I , alors, pour toute condition initiale x 0 ∈ I , la suite (x n ) n∈ N est monotone.

Preuve. En fait la première inégalité, celle entre les valeurs x ₀ et x ₁ , va se propager par récurrence : x ₀ ≤ x ₁ ⇒ ∀n ∈ N : x _n ≤ x _n+1 : suite croissante

x 0 ≥ x 1 ⇒ ∀n ∈ N : x n ≥ x n+1 : suite décroissante

2. Fonction décroissante

3. Conditions susantes de stabilité ou d'instabilité

Lorsque le signe de f(x) − x est connu dans un intervalle autour d'un point xe, on peut parfois savoir si ce point est stable ou instable.

Le point xe est instable lorsque la distribution des signes dans un intervalle J est comme dans le tableau suivant :

f(x)-x - 0 + a

Lorsque la fonction est C ¹ dans J , la condition f ⁰ (a) > 1 entraine une telle distribution locale des signes.

Le point xe est stable lorsque la distribution des signes dans un intervalle J est comme dans le tableau suivant :

f(x)-x + 0 - a

Lorsque la fonction est C ¹ dans J , la condition 0 ≤ f ⁰ (a) < 1 entraine une telle distribution locale des signes.

Remarques. Méthode de Newton

Application contractante. Toute applcation contractante dans un intervalle stable admet un unique point xe.

Suites dénies par récurrence

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Suites dénies par récurrence

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Vocabulaire - Résultats généraux . . . . 1

II. Fonctions monotones. . . . 1

1. Fonction croissante . . . . 1

2. Fonction décroissante. . . . 2

3. Conditions susantes de stabilité ou d'instabilité . . . . 2

III. Expressions particulières . . . . 2

1. Récurrence arithmético-géométrique . . . . 2

2. Récurrence homographique . . . . 2

3. Récurrence linéaire . . . . 2

Index

intervalle stable, 1

Obsolète transféré dans le cours sur les fonctions dérivables Cette section ne fait pas partie du programme de la classe de MPSI. Les résultats présentés ne doivent donc pas être utilisés directement surtout à l'écrit. L'objectif est de dégager certaines situations caractéristiques.

Le contexte général est l'étude de suites vériant une relation de récurrence du ype x n+1 = f (x n )

où f est une fonction dénie dans une partie de R et à valeurs réelles.

Les résultats présentés ici ne couvrent que des cas très particuliers et ne représentent absolument pas la complexité de la question.

I. Vocabulaire - Résultats généraux

Dénition. On dira qu'un intervalle I est stable pour une fonction f lorsque I est inclus dans l'espace de départ de f et que f (I) ⊂ I .

On dira que a appartenant à l'espace de départ d'une fonction f est un point xe de f lorsque f (a) = a .

Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f , pour toute condition initiale x 0 ∈ I , la suite (x n ) n∈N est dénie pour tous les entiers n .

Dénition. On dira qu'un point xe a de f est instable (ou répulsif) si et seulement si il existe un intervalle J tel que a est à l'intérieur de J et que, pour toute condition initiale x 0 ∈ J , il existe un entier N (x 0 ) tel que :

x 0 ∈ J, x 1 ∈ J, · · · , x N(x

)−1 ∈ J, x N(x

) 6∈ J

Proposition. Lorsque la suite converge vers un réel a dans l'espace de départ de f et que f est continue en a , ce point a est un point xe de f .

Preuve. En eet, par continuité de f en a , (f (x n )) n∈N converge vers f (a) mais cette suite est aussi égale à la suite extraite (x n+1 ) n∈ N qui converge vers a .

Dénition. Le bassin d'attraction d'un point xe a est formé par l'ensemble des conditions initiales x 0 pour lesquelles la suite (x n ) n∈ N converge vers a .

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II. Fonctions monotones

1. Fonction croissante

Fig. 1: Divergence monotone

Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f et que f est croissante sur I , alors, pour toute condition initiale x 0 ∈ I , la suite (x n ) n∈ N est monotone.

Preuve. En fait la première inégalité, celle entre les valeurs x 0 et x 1 , va se propager par récurrence : x 0 ≤ x 1 ⇒ ∀n ∈ N : x n ≤ x n+1 : suite croissante

x 0 ≥ x 1 ⇒ ∀n ∈ N : x n ≥ x n+1 : suite décroissante

2. Fonction décroissante

3. Conditions susantes de stabilité ou d'instabilité

Lorsque le signe de f(x) − x est connu dans un intervalle autour d'un point xe, on peut parfois savoir si ce point est stable ou instable.

Le point xe est instable lorsque la distribution des signes dans un intervalle J est comme dans le tableau suivant :

f(x)-x - 0 + a

Lorsque la fonction est C 1 dans J , la condition f 0 (a) > 1 entraine une telle distribution locale des signes.

Le point xe est stable lorsque la distribution des signes dans un intervalle J est comme dans le tableau suivant :

f(x)-x + 0 - a

Lorsque la fonction est C 1 dans J , la condition 0 ≤ f 0 (a) < 1 entraine une telle distribution locale des signes.

Remarques. Méthode de Newton

Application contractante. Toute applcation contractante dans un intervalle stable admet un unique point xe.

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III. Expressions particulières

1. Récurrence arithmético-géométrique 2. Récurrence homographique

3. Récurrence linéaire

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Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f , pour toute condition initiale x 0 ∈ I , la suite (x n ) _n∈N est dénie pour tous les entiers n .

Dénition. On dira qu'un point xe a de f est instable (ou répulsif) si et seulement si il existe un intervalle J tel que a est à l'intérieur de J et que, pour toute condition initiale x ₀ ∈ J , il existe un entier N (x ₀ ) tel que :

x ₀ ∈ J, x ₁ ∈ J, · · · , x _N(x

₎₋₁ ∈ J, x _N(x

₎ 6∈ J

Preuve. En eet, par continuité de f en a , (f (x n )) _n∈N converge vers f (a) mais cette suite est aussi égale à la suite extraite (x n+1 ) n∈ N qui converge vers a .

Preuve. En fait la première inégalité, celle entre les valeurs x ₀ et x ₁ , va se propager par récurrence : x ₀ ≤ x ₁ ⇒ ∀n ∈ N : x _n ≤ x _n+1 : suite croissante

Lorsque la fonction est C ¹ dans J , la condition f ⁰ (a) > 1 entraine une telle distribution locale des signes.

Lorsque la fonction est C ¹ dans J , la condition 0 ≤ f ⁰ (a) < 1 entraine une telle distribution locale des signes.