MPSI-Éléments de cours Autour du formulaire de trigonométrie 28 février 2020
Autour du formulaire de trigonométrie
Rédaction incomplète. Version alpha Plan
I. Formulaire . . . . 1
II. Commentaires . . . . 3
1. Trigonométrie circulaire . . . . 3
1. Tangente . . . . 3
2. Formule fondamentale . . . . 3
3. Valeurs particulières et symétries . . . . 3
4. Tangente de l'arc moitié . . . . 3
5. Produit en somme . . . . 3
6. Somme en produit - Linéarisation . . . . 3
7. Somme en produit . . . . 3
8. Équations . . . . 3
9. Expressions polynomiales . . . . 3
2. Trigonométrie hyperbolique . . . . 3
1. Dénitions . . . . 3
2. Formules . . . . 3
Index
Fonction tangente : dénition, 3
formulaire de trigonométrie circulaire, 1 formulaire de trigonométrie hyperbolique, 1 Linéarisation, 3
I. Formulaire
Dans le formulaire présenté sur la page suivante, a, b, x sont réels et n entier relatif.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai C8699MPSI-Éléments de cours Autour du formulaire de trigonométrie 28 février 2020
Trigonométrie circulaire Dénitions
cos a = 1
2 (e ia + e −ia ) sin a = 1
2i (e ia − e −ia ) cos a + i sin a = e ia (Euler)
Module
(cos a) 2 + (sin a) 2 = 1 1 + tan 2 a = 1 cos 2 a Autour de e z+z
0= e z e z
0(cos a + i sin a) n = cos(na) + i sin(na) (Moivre) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan(a + b) = tan a + tan b
1 − tan a tan b cos(2a) = cos 2 a − sin 2 a
= 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a sin(2a) = 2 sin a cos a
tan(2a) = 2 tan a 1 − tan 2 a Symétries
sin et cos sont 2π périodiques.
sin impaire, cos paire.
cos(a + π) = − cos a cos(π − a) = − cos a sin(a + π) = − sin a sin(π − a) = sin a tan(a + π) = tan a tan(π − a) = − tan a cos( π
2 − a) = sin a cos( π
2 + a) = − sin a sin( π
2 − a) = cos a sin( π
2 + a) = cos a tan( π
2 − a) = 1
tan a tan( π
2 + a) = − 1 tan a
Expression avec la tangente de l'arc moitié.
Pour a 6≡ π mod (2π) et t = tan a 2
cos a = 1 − t 2
1 + t 2 sin a = 2t
1 + t 2 tan a = 2t 1 − t 2 Produit → Somme (linéarisation)
cos a cos b = 1
2 (cos(a − b) + cos(a + b)) sin a sin b = 1
2 (cos(a − b) − cos(a + b)) sin a cos b = 1
2 (sin(a − b) + sin(a + b)) cos 2 a = 1
2 + 1
2 cos(2a) sin 2 a = 1
2 − 1
2 cos(2a)
Somme → Produit (factorisation)
cos a + cos b = 2 cos a + b
2 cos a − b 2 cos a − cos b = −2 sin a + b
2 sin a − b 2 sin a + sin b = 2 sin a + b
2 cos a − b 2 Équations
sin x = 0 ⇔ x ≡ 0 mod (π)
cos x = 0 ⇔ x ≡ π
2 mod (π) sin x = sin a ⇔
x ≡ a mod (2π) ou
x ≡ π − a mod (2π) cos x = cos a ⇔
x ≡ a mod (2π) ou
x ≡ −a mod (2π) Trigonométrie hyperbolique
ch est la partie paire de l'exponentielle réelle.
sh est la partie impaire de l'exponentielle réelle.
ch a = 1
2 e a + e −a
sh a = 1
2 e a − e −a e a = ch a + sh a e −a = ch a − sh a
(ch a) 2 − (sh a) 2 = 1
ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b th(a + b) = th a + th b
1 + th a th b ch(2a) = (ch a) 2 + (sh a) 2 sh(2a) = 2 sh a ch a th(2a) = 2 th a
1 + th 2 a
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Rémy Nicolai C8699MPSI-Éléments de cours Autour du formulaire de trigonométrie 28 février 2020
II. Commentaires
1. Trigonométrie circulaire
1. Tangente
Dénition. La fonction tangente est dénie dans R \ ( π 2 + π Z ) par :
∀x ∈ R , x 6≡ π
2 mod (π) : tan x = sin x cos x cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ cos 2 x 1 + tan 2
= 1 2. Formule fondamentale
Pour des réels a et b , on peut exprimer a cos t +b sin t comme une fonction trigonométrique avec une amplitude.
a cos t + b sin t = A cos(t − ϕ) avec ϕ déni modulo 2π par
cos ϕ = a
√ a 2 + b 2 , sin ϕ = b
√ a 2 + b 2 3. Valeurs particulières et symétries
Utiliser la formule fondamentale e z+z
0= e z e z
0et les valeurs particulières e 2iπ = 1, e iπ = −1, e i
π2= i 4. Tangente de l'arc moitié
5. Produit en somme
6. Somme en produit - Linéarisation 7. Somme en produit
8. Équations
9. Expressions polynomiales
Expressions polynomiales de cos(nt) et sin(nt) en fonction de cos(t) et sin(t) . Soit directement par la formule du binôme soit par récurrence avec les formules de transfo de somme en produit.
2. Trigonométrie hyperbolique
1. Dénitions 2. Formules
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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