II. Étude locale

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MPSI-Éléments de cours Courbes planes paramétrées 28 février 2020

Courbes planes paramétrées

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Vocabulaire . . . 1

II. Étude locale. . . 1

1. Tangente, normale. . . 1

2. Position par rapport à la tangente et à la normale . . . 2

3. Étude locale : branches innies . . . 2

4. Calculs de vitesse . . . 4

III. Exemples. . . 4

IV. Savoir-faire . . . 4

Index

asymptote,3 branche innie,2 cardioïde,4

courbe paramétrée à accélération centrale,1 direction asymptotique,3

normale,2 point birégulier,1

point régulier,1

qc : direction asymptotique et asymptote,2 qc : forme locale de la courbe (cas birégulier),2 qc : vitesse et accélération dans le repère polaire, sf branches innies,2 3

tangente,1

L'étude des courbes sera reprise en n d'année en particulier pour l'introduction des propriétés métriques et la classication locale.

Cette section utilise les dénitions et résultats relatifs auxFonctions d'une variable réelle et à valeurs vectorielles du Glossaire de début d'année.

I. Vocabulaire

courbe paramétrée, fonction, mouvement, vitesse, accélération.

courbe plane (ensemble de points), trajectoire ou support d'une courbe paramétrée. Des courbes plus générales que les graphes.

changements de paramètres, paramétrages admissibles

exemples de types de paramétrisation :(x(t), y(t),(x, y(x)),(x(y), y),ρ(θ)−→e_θ,ρ(t)−→e_θ(t), mouvement à accélération centrale, mouvement uniforme (= paramétrisation normale), ....

II. Étude locale

1. Tangente, normale

Point régulier : vitesse, tangente, normale. Point stationnaire. Point birégulier.

Dénition (Essai de dénition d'une tangente). La courbe paramétréef admet un tangente au pointf(t0)lorsque t→

−−−−−−→

f(t0)f(t) k−−−−−−→

f(t0)f(t)k

converge à droite et à gauche (strictement) det0vers des vecteurs colinéaires. La tangente ent0 est alors la droite qui passe parf(t0)et de direction la droite vectorielle engendrée par ces vecteurs. Lorsque il y a convergence mais vers des vecteurs diérents, on dira que la courbe admet des demi-tangentes.

Proposition. Une courbe paramétréef admet en un point régulierf(t0)une tangente dirigée par −→ f⁰(t0). La normale est la droite perpendiculaire à la tangente enf(t₀). Équations de la tangente et de la normale en un point régulier.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai C6430

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f(t) f(t

₀

)

Fig. 1: Dénition de la tangente

2. Position par rapport à la tangente et à la normale

Demi-plans dénis par les équations de la tangente et de la normale. Point birégulier : accélération, position locale de la courbe par rapport à la tangente et à la normale.

tangente

normale

−→ f⁰⁰(t0)

−

→f⁰(t0) f(t0)

Fig. 2: Point birégulier. Position par rapport à la normale et à la tangente

La classication en point normal, d'inexion, de rebroussement (de première ou de deuxième espèce) ne sera exposée qu'en n d'année. Calculs de vitesse pourρ(θ)−→eθ ouρ(t)−→eθ(t)

3. Étude locale : branches innies

Remarques sur les dénitions possibles de la notion de branches innie. On se limite à un cas particulier k−−−→

Af(t)k −→

t₀ +∞

Cette propriété est indépendante du pointA.

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A

f(t)

Fig. 3: Direction asymptotique

Fig. 4: branche innie sans direction asymptotique

Dénition (branche innie avec direction asymptotique). On dira quef admet en t₀ une branche innie avec une direction asymptotique−→u lorsqu'il existe un pointAtel que :

k−−−→

Af(t)k −→

t₀ +∞et

−−−→Af(t) k−−−→

Af(t)k

−→t₀

−

→u

Vérions que la convergence et la valeur de la limite sont indépendantes du pointA.

Dénition (Asymptote). On dira quef admet une branche innie avec une droite asymptoteDlorsque k−−−→

Af(t)k −→

t₀ +∞etd(f(t),D)−→

t₀ 0

Proposition. Une courbe paramétrée f admet une branche innie avec une droite asymptote si et seulement si elle admet une directions asymptotique−→u et qu'il existe un pointA et un réellA tel que

det(−−−→

Af(t),−→u)−→

t₀ l_A Dans ce cas, la droite asymptote est formée par les pointsM tels que

det(−−−→

Af(t),−→u) =l_A

Preuve. Vérions que si on change de point, on change de limitelA mais pas de droite. Montrons que la distance def(t)à cette droite tends vers0.

La proposition précédente conduit à une équation de l'asymptote et constitue une méthode pratique.

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Exemples. 1. Courbes paramétréesf(t) =O+u(t)−→

i +v(t)−→

j avecuouv qui tend vers l'inni.à rédiger 2. Cas d'une courbe en polaire :

f(θ) =O+ρ(θ)−→eθ

ρ−→

θ₀ +∞

)

⇒ 1 k−−−→

Of(θ)k

−−−→Of(θ) =−→eθ−→

θ0

−

→eθ_O

Il y a donc toujours une direction asymptotique. Il y a une asymptote si et seulement si le déterminant converge or

det(−−−→

Of(θ),−→eθ_O) =ρ(θ) sin(θ−θ0)

On obtient donc une forme indéterminée que l'on traite avec les outils de l'analyse. Lorsqu'il existe une limite nie l, on obtient une équation polaire de la droite asymptote qu'il est facile d'exprimer en coordonnées cartésiennes en développant simplement lesin.

ρsin(θ−θ0) =l⇔ −xsinθ0+ycosθ0=l

4. Calculs de vitesse

III. Exemples

1. cardioïde. Recherche des symétries, calcul vitesse, équation d'une tangente, tracé.

f(θ) =O+ (1 + cos(θ))−→eθ

2. Recherche des symétries, tracé, équation cartésienne de la trajectoire f(t) =O+ (t+1

t)−→

i + (t²+ 1 t²)−→

j 3. Recherche des points multiples, branches innies

f(t) =O+ (t+ 2t t²−1)−→

i + ((t+ 1)² t² )−→

j 4. Recherche des symétries, régionnement, branches innies.

f(θ) =O+ 1 2 cosθcos(2θ)

−

→eθ

IV. Savoir-faire

1. Tracé à la machine, syntaxe Maple de plot. Sans machine, s'aider des autres points et former éventuellement des tableaux de variation.

2. Symétries. TrouverS tel quef(t⁰) =S(f(t))oùS est une transformation du plan.

3. Régionnement attaché au signe deρ(θ)pour une courbe polaire.

4. Calculs de vitesse comme pour la cardioïde.

5. Équations de tangentes et de normale.

6. Branches innies.

7. Équations cartésiennnes point multiples. Ne pas manquer les équations des courbes polaires usuelles : ρ(θ) =acosθ+bsinθ x²+y²=ax+by

ρ(θ) = 1

acosθ+bsinθ 1 = ax+by

en multipliant la premiere équation parρet la deuxième paracosθ+bsinθ.