Applications - Familles

MPSI-Éléments de cours Applications - Familles 28 février 2020

Applications - Familles

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Dénitions - Vocabulaire . . . . 1

1. Graphe fonctionnel . . . . 1

2. Restrictions et prolongement . . . . 1

3. Exemples . . . . 1

4. Composition . . . . 1

II. Images directes et réciproques . . . . 1

1. Dénitions . . . . 1

III. Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . 1

IV. Familles . . . . 2

Index

corestriction d'une fonction, 1

fonction caractéristique, 1 prolongements d'une fonction, 1 restriction d'une application, 1

I. Dénitions - Vocabulaire

1. Graphe fonctionnel

ensemble fonctionnel F (E, F ) . Notation fonctionnelle usuelle.

2. Restrictions et prolongement

Restriction

prolongements d'une fonction corestriction d'une fonction

3. Exemples

fonction caractéristique fonctions identités

4. Composition

II. Images directes et réciproques

1. Dénitions

notations provisoires Φ et ϕ . propriétés de ϕ union, intersection, complémentaire. inclusions pour les composées Exercice. Cas d'égalité.

Notation dénitive

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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MPSI-Éléments de cours Applications - Familles 28 février 2020

III. Injectivité, surjectivité, bijectivité

Expression avec les images directes et réciproques Proposition.

f injective et g injective ⇒ g ◦ f injective f surjective et g surjective ⇒ g ◦ f surjective

f bijective et g bijective ⇒ g ◦ f bijective g ◦ f injective ⇒ f injective g ◦ f surjective ⇒ g surjective Preuve.

Proposition. f est bijective si et seulement si il existe une fonction g telle que f ◦ g = Id

F

g ◦ f = Id

E

Lorsque la fonction est bijective cette fonction g est unique, elle est notée f

et appelée la bijection réciproque de f .

Preuve.

Remarque. Attention, g ◦ f bijective n'entraine pas que f et g soient bijective. Exemple du pousser : P et du tirer : T

.

Proposition. Si E et F sont deux ensembles nis avec le même nombre d'éléments, l'injectivité est équivalente à la surjectivité est équivalente à la bijectivité.

IV. Familles

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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