x 2 u ′′ α + xu ′ α + (α 2 x 2 − ν 2 )u α = 0 x 2 u ′′ β + xu ′ β + (β 2 x 2 − ν 2 )u β = 0

Soitlesdeux fontions

u α

^et

u β

^{solutiondel'équationdeBessel}

x ² u ^′′ _α + xu ^′ _α + (α ² x ² − ν ² )u α = 0 x ² u ^′′ β + xu ^′ β + (β ² x ² − ν ² )u β = 0

Onmultiplielapremièreéquationpar

u β /x

^{,ladeuxièmepar}

u α /x

^{,etonintégre}

entre

0

^et

L

^{.Nousobtenons alorstrois termes}

I = I 1 + I 2 + I 3 = 0

^où

I 1 =

ˆ L

0

x(u ^′′ _α u β − u ^′′ _β u α )dx I 2 =

ˆ L

0

(u ^′ α u β − u ^′ β u α )dx I 3 = (α ² − β ² )

ˆ L

0

xu α u β dx

Unepremièreintégrationparpartiesur

I 1

^nousdonne

I 1 =

x u ^′ α u β − u ^′ β u α

^L

0 − ˆ L

0

(u ^′ α u β − u ^′ β u α )dx

etnousvoyonsqueletermeintégraleannuleexatementleterme

I 2

^.Nousavons

donnalement

x u ^′ _α u β − u ^′ _β u α ^L

0 + (α ² − β ² ) ˆ L

0

xu α u β dx = 0

⁽¹⁾

Simaintenant

α

^et

β

^{sontreliéauxzéro}

J ν

^par

α = ζ νn /L

^et

β = ζ νm /L

^etque

u α = J ν (αx)

^,

u β = J ν (βx)

^{, alorsilest évidentque}

u α (L) = u β (L) = 0

^donle

termedeonditionsauxbord

[] = 0

^{.Nousendéduisonsquesi}

α 6= β

^,

´

()dx = 0

etnousavonsbien l'orthogonalité.

Cesfontionsjouentexatementlerledessinetosetpeuventêtreutilisée

pourdesexpansionensériedeBessel-Fourier:unefontionassezhonnêtepeut

sedéomposersurl'intervalle

[0, L]

^omme

f (x) =

∞

X

n=0

c n J ν (ζ νn x/L)

oùlesoeients

c n

^{sontdonnéspar}

c n = 1 A νn

ˆ L

0

xf(x)J (ζ νn x/L)dx

où omme il se doit,

A νn = ´ L

0 xJ _ν ² (ζ νn x/L)dx = L ² ´ 1

0 xJ _ν ² (ζ νn x)dx

^{. A vrai}

dire, un peu d'adresse 1

nous permet de aluler la valeur de ette intégrale

1

et la onnaissane des relations de reurene entre les Bessel :

J _ν ^′ (z) = J _ν−1 (z) −

(1/z)J _ν (z)

diretementàpartirdel'éq.(1),enprenantlalimite

α → β

^:

ˆ 1

0

xJ ν ² (ζ νn x)dx = J ν+1 ² (ζ νn )

Ces développementsen série de Bessel-Fouriersont très utilisés dans les pro-

blèmesde vibrationdes membranes.Ce développementen série setransforme

enTransforméde Hankelsur lesintervalles innis, exatement ommeles TF

sontuneextensiondesSF.

2 La seonde solution fondamentale des SL.

La premièrepartie néessite simplement unpeu depropreté dans lesdéri-

vaton,sinonl'exerieestauto-guidé.Pourl'équation deLegendre,nousavons

wα = (1 − x ² ).

^{Nousdevonsdonalulerd'abord}

ˆ 1

x ² (1 − x ² ) dx

Cepourquoi,nousdéomposonsenfration simple:

1

x ² (1 − x ² ) = 1 x ² + 1

2 1 1 − x + 1

2 1 1 + x

L'intégration deettedernièreet samaultipliationpas

y 1 (x) = x

^nousdonne

nalement

y 2 (x) = −1 + x 2 log

1 + x 1 − x

Ladeuximesolutiondel'équationdeLegendre(quel'onnotesouvent

Q n (x)

^)a

toujoursdessingularitélogarithmiqueauxpoints

x = ±1

^.

3 Klein-gordon.

Nousavons

∂L

∂φ ^∗ ,x i

= ǫ i

∂φ

∂x i

∂L

∂φ ^∗ = m ² φ i

Enérivantl'équationd'Euler-Lagrangeduhamp

X

i

∂

∂x i

∂L

∂φ ^∗ _{,x i}

− ∂L

∂φ ^∗ = 0

noustrouvonsdon

X

i=0

ǫ i

∂ ² φ

∂x ² _i − m ² φ = 0

Simaintenantnousutilisonslesnotationshabituelles

x 0 = t

^{pourletemps,nous}

trouvons

− ∂ ² φ

∂t ² + ∆φ = m ² φ

OnsesouvientduoursdeM.Qoùl'opérateurenergyest

E = i∂ t

^etl'opérateur imulsionest

p = −i∇

^{.Nouspouvonsdonréerireetteéquationomme}

E ² − p ² − m ² φ = 0

4 Extremum et valeurs propres.

1. Ilestévidentquenousdevonsherherl'extrémumde

S ^′ [f ] = S[f ]−λ(f, f).

Lavariationàl'ordre1deettedernières'érit

δS ^′ = {(f, Lg) + (g, Lf ) − λ(f, g) − λ(g, f)} ǫ

En utilisantlefait que

L

^{est hermitien,'est àdire}

(f, Lg) = (Lf, g)

^{et qu'un}

produitsalaireestsymétrique,'estàdire

(f, g) = (g, f )

^{,nouspouvonsmettre}

letermeentreaoladesouslaformede

2(Lf − λf, g)

^{.Pourquelavariationà}

l'ordre1soit nullequelquesoitlafontion

g

^{,nousdevonsavoir}

Lf = λf

(seullafontion

0

^estorthogonaleàtouteslesautres,pardénitionduproduit salaire).

2. Si

L

^{n'estpashermitien,lesmême}onsidérationnousamèneà

(L + L ^† )f = 2λf

où

†

^dénote l'opérateuradjoint. Remarquerque

(L + L ^† )

^{est hermitien. N'im-}

portequel opérateurpeutsemettre souslaformed'unesommede partieher-

mitienetanti-hermitien:

L = (L + L ^† )/2 + (L − L ^† )/2

^{.Vousvoyezqu'iln'ya}

quelapartiehermitiennequi intervientdanslesproblèmesdeminimisation.