PanaMaths
[1 - 3]Janvier 2002
Soit α ∈\ tel que cos α ≠ 0 . Calculer les sommes :
( ) ( ) ( )
( )
0 0
cos sin
cos et cos
n n
k k
k k
k k
U α V α
α α
= =
= ∑ = ∑
Analyse
Dans un premier temps, il convient de traduire l’hypothèse cosα ≠0. La deuxième somme requiert une discussion. On effectue ensuite les deux calculs simultanément en introduisant la somme complexe : W = +U iV.
Résolution
On a : cos 0 sin 1
2 p
α≠ ⇔ ≠ +α π π ⇔ α ≠ − .
On note, par ailleurs, que si α = pπ avec p entier relatif, on a : sin
( )
kα =0 pour toute valeur de l’entier k. Dans ce cas particulier, on a : V =0.Que vaut alors U ?
Pour k∈
{
0,1,...,n}
, on a :( ) ( ) ( )
cos kα =cos kpπ = −1 kp et
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos cos 1 1
p k pk
k α = k pπ = − = −
Soit :
{ } ( )
( )
0,1,..., , 1cos cosk
k n kα
∀ ∈ α = .
Et finalement : U = +n 1.
Pour α= pπ , on a : 1
U = +n et V =0
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[2 - 3]Janvier 2002
Pour les calculs qui suivent, on va donc supposer :
2 p
α≠ +π π et α ≠ pπ, soit, en
définitive :
pπ2 α ≠ .
Soit donc :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0
0
cos sin
cos cos
cos sin
cos
cos
cos
n n
k k
k k
n
k k
n ik k k
i k n
k
W U iV
k k
i
k i k
e
e
α
α
α α
α α
α α
α α
α
= =
=
=
=
= +
= +
= +
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
∑
∑
On est ainsi ramené au calcul de la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique complexe de raison : sin
cos 1 cos
ei
i
α α
α = + α . On note que pour α= pπ , la raison est un réel (elle vaut 1 et on retrouve immédiatement les valeurs particulières de U et V obtenues dans ce cas).
Une telle sommation est connue et on obtient :
( )
( ) ( ( ) )
( )
( ) ( ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ) )
( ) ( ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ) )
( )
( )
( ) ( ) ( ( ) )
( )
1
1
1 1
1
1
1 cos
1 cos
cos 1 sin 1
1 cos
1 1 sin cos
1 cos 1
cos cos 1 sin 1
sin cos
cos cos 1 sin 1
sin cos
sin 1 cos cos 1
sin cos sin cos
i n
i
n
n n
n n
n
n n
e
W e
n i n
i
n i n
i
i n i n
n n
i
α
α
α α
α α
α α α
α α α α
α α
α α α
α α
α α α
α α α α
+
+
+ +
+
+
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
−
+ + +
−
= − +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
= − − + − +
= − + − +
+ − +
= +
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[3 - 3]Janvier 2002
Il vient donc, finalement, pour
pπ2 α≠ :
( )
( )
( )
sin 1
sin cosn
U n α
α α
= + et
( ) ( ( ) )
( )
cos 1 cos 1
sin cos
n
n
V α n α
α α
+ − +
=
Résultat final
Si α = pπ : U = +n 1 et V =0
Si α ≠ pπ2 :
( ( ) )
( )
sin 1
sin cosn
U n α
α α
= + et
( ) ( ( ) )
( )
cos 1 cos 1
sin cos
n
n
V α n α
α α
+ − +
=
