MPSI B Corrigé du DM 2 29 juin 2019
Sous-groupes additifs de (R,+)
1. Le sous-groupeGn'est pas discret si et seulement si
∀α >0, G∩]0, α[6=∅
Supposons queGne soit pas discret. Considérons un réelxquelconque et unα >0. Il existe un élémentg∈G∩]0, α[. Appelonsnla partie entière de xg. On a alors
ng≤x < ng+g ng+g < ng+α≤x+α donc(n+ 1)g∈G∩ ]x, x+α[carGest stable.
2. a. Sixety sont dansI (intervalle de longueur α2), alors :
|x−y| ≤ α 2 < α
En particulier, sixety sont deux éléments distincts deG∩I, un des deux réels x−youy−xest un élément deG∩]0, α[ ce qui est impossible.
Un intervalle quelconque de longueur nie est toujours inclus dans l'union d'un nombre ni d'intervalles de longueur α2. Chacun de ces (petits) intervalles ne peut contenir qu'au plus un élément deG. Par conséquent, l'intersection deGavec un tel intervalle (borné quelconque) est vide ou nie.
b. CommeGn'est pas réduit à 0, il existe ung non nul dansG. Comme−g∈Gon peut supposerg >0. Considérons alors l'ensembleG ∩ ]0, g].
Il est non vide (il contientg) et ni d'après la question précédente. Il admet donc un plus petit élément que l'on notem.
Montrons quem= minG ∩ R∗+. On sait déjà que
m∈G∩ ]0, g]⊂R∗+
D'autre part, sik∈G ∩ R∗+ deux cas sont possibles k≤g alorsk∈G∩]0, g] doncm≤h
g < k alorsm < hcarm≤g.
Ceci montre bien quemest un minorant de G∩]0, g] donc le plus petit élément de cet ensemble.
c. D'après la dénition d'un sous-groupe (stabilité)Zm⊂G.
Réciproquement, soitg∈G ∩ R∗+. Notons kla partie entière de mg. On a alors k≤ g
m < k+ 1⇒km≤g <(k+ 1)m⇒0≤g−km < m
À cause des propriétés de stabilité deG, on a−km∈Get g−km∈G∩ [0, m[. D'apès la dénition dem, il est impossible queg−km∈G∩ R∗+. Ceci entraîne g−km= 0. C'est à direg=kmdoncg∈Zm.
3. a. Vérication facile des propriétés de stabilité.
b. SiS est discret, d'après la question 2., il existe m >0tel queS =Zm.
Comme x = 1×x+ 0×y ∈ S, il existe p ∈ Z tel que x = pm. De même, y= 0×1 + 1×y∈S il existe doncq∈Z∗ tel quey=qm. On en déduit
m=x p =y
q ⇒ x y = p
q ∈Q Réciproquement, si on suppose xy ∈Q,
∃(p, q)∈Z×N∗ tq x y =p
q ∈Q⇒ x p = y
q (désigné parm) Alorsx=pmet y=qmdoncxety sont dansZmet
∀(i, j)∈Z2, ix+jy= (ip+jq)m∈Zm
⇒S⊂Zm.
Ceci entraîne queS ∩]0, m[est vide donc queS est discret.
4. a. SiA∩B était non vide, il existerait des entiers non nulspetqtels quepx=qy.
On aurait alors x
y =p q ∈Q
b. D'après 3.,S est un sous-groupe qui n'est pas discret. Pour toutα >0, il existe donc des entiersmet ntels quemx+ny∈]0, α[.
Lorsque α < min(x, y), les entiers m et n sont tous les deux non nuls. Posons a=mx,b=−ny, alorsa∈Aet b∈B donc
∀α <min(x, y), inf{|a−b|,(a, b)∈A×B} ≤α On en déduit que cette borne inférieure est nulle.
5. Considérons un intervalle quelconque[u, v] dans [−1,1], on doit montrer qu'il existe un entierntel que cosn∈[u, v].
Posonsα= arccosv,β = arccosuet formons l'intervalle[α, β]deR.
Comme 2π est irrationnel, le sous-groupe additif Z+ 2πZ engendré par 1 et 2π est dense dansR. Il existe donc des entiersmetntels quem+ 2πn∈[α, β]. On en déduit quecosm∈[u, v]ce qu'il fallait montrer.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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1 Rémy Nicolai M0202C
