(G, M ) = 0. On note N

UN LEMME SUR LES R ´ ESEAUX

JEAN-LOUIS COLLIOT-TH ´EL `ENE

Soit G un groupe fini. Un G-r´ eseau est dit de permutation s’il admet une Z -base globalement stable sous l’action de G. Il est dit inversible s’il est un facteur direct, comme G-module, d’un G-module de permutation. Un tel G-module M satisfait H

(G, M ) = 0. On note N

= P

g∈G

g ∈ Z [G], et on note I

⊂ Z [G] le noyau de l’augmentation : Z [G] → Z .

Dans un r´ ecent article, M. Brion et E. Peyre utilisent, et d´ emontrent :

Lemme [BP2020, Lemme 6] Soit G un groupe fini et M un G-r´ eseau. Si tout sous-G-module de M est un G-r´ eseau inversible, alors l’action de G sur M est triviale.

Via les groupes de Sylow, on r´ eduit la d´ emonstration au cas G = Z /p avec p premier. Voici dans ce cas G = Z /p une d´ emonstration alternative du r´ esultat.

On a un G-r´ eseau M dont tout sous-G-module est un G-r´ eseau inversible, donc en particulier il existe un G-r´ eseau N et un isomorphisme de G-r´ eseaux

M ⊕ N ' Z

⊕ Z [G]

.

Soit I

⊂ Z [G] dans un des facteurs de droite. Soit T ⊂ M l’image de l’application compos´ ee

I

, → Z [G] , → ( Z [G]

⊕ Z

) → (M ⊕ N ) → M.

C’est un sous-G-module de M , donc par hypoth` ese T est un G-r´ eseau inversible.

On a une suite exacte de G-r´ eseaux 0 → R → I

→ T → 0. Dualisons cette suite exacte (dual ` a valeurs dans Z ). Cela donne une suite exacte de G-r´ eseaux

0 → T

→ Z [G]/ Z N

→ R

→ 0.

Pour p = 2, le quotient Z [G]/ Z N

est libre de rang 1 sur Z donc soit T

= 0 soit R

= 0. Pour p > 2, l’anneau Z [G]/ Z N

s’identifie comme anneau ` a l’anneau Z [x]/(1 + x + · · · + x

), c’est-` a-dire ` a l’anneau Z [ζ

] des entiers cyclotomiques.

Le sous-G-module T

s’identifie donc ` a un id´ eal de l’anneau de Dedekind Z [ζ

]. Le quotient R

de Z [ζ

] par cet id´ eal est sans Z -torsion. Ainsi soit R

= 0 soit T

= 0.

Et donc soit R = 0 soit T = 0.

Si R = 0 alors I

= T mais ceci n’est pas un G-r´ eseau inversible, puisque H

(G, I

) = Z /p. Donc T = 0. Mais alors la surjection Z

⊕ Z [G]

→ M se factorise par le G-module trivial Z

⊕ Z

, et l’action de G sur M est triviale.

R´ ef´ erences

[BP2020] Michel Brion et Emmanuel Peyre. Very special algebraic groups.

https ://arxiv.org/abs/2002.069401

Universit´e Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de math´ematiques d’Orsay, 91405, Orsay, France.

E-mail address:[email protected] Date: Pise, 20 f´evrier 2020.

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