Formule de Burnside dans Sn
Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Algèbre 1, page 268 Exercice :
1. SoitE unC-espace vectoriel de dimension nien≥1et Gun sous-groupe ni deGL(E). On poseEG={x∈E,∀g∈G, g(x) =x}. Montrer que
dimEG= 1
|G|
X
g∈G
tr(g)
2. Soit Gun sous-groupe de Sn. Pour g ∈ G, on note F(g)le nombre de points xes de g. Soit r le nombre d'orbites pour l'opération de G sur {1, . . . , n}.
Déduire de ce qui précède que r= 1
|G|
X
g∈G
F(g) 3. Montrer directement la formule de la question2.
1. Posons u = 1
|G|
X
g∈G
g. On voit que, si g ∈ G, on a gu = ug = u. En eet, on peut écrire par exemple,
gu=g 1
|G|
X
g0∈G
g0= 1
|G|
X
g0∈G
gg0 =u
car,gétant xé, l'applicationg07→gg0 est une bijection de GsurG. On en déduit que u2= 1
|G|
X
g∈G
gu= 1
|G|
X
g∈G
u=u
c'est-à-dire queuest un projecteur.
Si x∈EG, il est clair queu(x) =x. Mais inversement, si x∈Imu, on a u(x) =xet la relation gu=uimplique que pour toutg∈G,
g(x) =g(u(x)) =u(x) =x
ce qui montre quex∈EG. Finalement,EG est l'image du projecteuru. En caractéristique nulle, ce qui est le cas ici, la trace d'un projecteur est égale à son rang. D'où le résultat.
2. On réaliseGcomme sous-groupe deGLn(C)à l'aide des matrices de permutation : à toutg∈G, on associe la matricePg de terme généralδi,g(j), oùδdésigne le symbole de Kronecker. On vérie que, pour (g, g0) ∈ G2, on a Pg◦Pg0 = Pgg0. L'application g 7→ Pg est donc un morphisme de groupes, injectif, de Gdans GLn(C). On en déduit que G0 ={Pg, g∈ G} est un sous-groupe de GLn(C)isomorphe àG. Le lien avec la question précédente apparaît déjà puisqueF(g), le nombre de points xes de la permutationg n'est autre que la trace de la matricePg. Il ne reste plus qu'à voir pourquoi la dimension du sous-espaceEG0 est égale au nombrerd'orbites.
Notons (e1, . . . , en) la base canonique de Cn, Ω1, . . .Ωr les diérentes orbites de {1, . . . , n} sous l'opération deG et posons pour toutk ∈ {1, . . . , r}, Fk =V ect(ei)i∈Ωk. On remarque que, pour toutg ∈G, on aPg(ej) =eg(j). Les sous-espaces vectorielsFk sont donc stables par les matrices deG0. De plus, on aCn =F1⊕. . .⊕Fr. SoitX∈Cn que l'on décompose enX =X1+. . .+Xr
avecXi∈Fi pour1≤i≤r. On obtient, pour g∈G,PgX = Pr
i=1
PgXi. CommePgXi ∈Fi, on a, par unicité de la décomposition,Pg(X) =X si et seulement siPgXi=Xi pour touti∈ {1, . . . , r}.
On en déduit que
EG0 = Mr
i=1
³
EG0∩Fi
´
1
Or, il est aisé de voir que EG0 ∩Fi est la droite vectorielle engendrée par le vecteur P
k∈Ωi
ek. En eet, si x ∈ Fi s'écrit x = P
k∈Ωi
λkek, où les λk sont dans C, on obtient, pour tout g ∈ G, Pg(x) = P
k∈Ωi
λkeg(k) = P
k∈Ωi
λg−1(k)ek. On en déduit qu x ∈ EG0 ∩Fi, si et seulement si pour tout k ∈ Ωi et tout g ∈ G, on a λg−1(k) =λk. Le groupe G agissant transitivement sur Ωi, par dénition, il faut que tous lesλk soient égaux, ce qui conduit au résultat annoncé. On a donc, pour toutk∈Ωi,dim³
EG0∩Fi
´
= 1et par conséquentdimEG0 =r.
3. L'idée est simplemnt de calculer de deux manières diérentes le cardinal de l'ensembleA={(g, x)∈ G× {1, . . . , n}, g(x) =x}. Si on somme d'abord selonG, on obtient|A|=X
g∈G
F(g). Si on somme maintenant selon les éléments de{1, . . . , n}, on a|A|= Pn
k=1
|Gk|oùGk={g∈G, g(k) =k}désigne le stabilisateur dek. Or, si on note Ω1, . . . ,Ωr les orbites de{1, . . . , n}pour l'action de G, on a
X
1≤k≤n
|Gk|= Xr
i=1
X
k∈Ωi
|Gk|= Xr
i=1
X
k∈Ωi
|G|
|Ωi| =r|G|
2
