Universit´e Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2
Math´ematiques Ann´ee 2014–2015
DM no 1
Exercice 1 – Soit (G,·) un groupe. Un sous-groupe H deG est dit normal si pour tout x∈G on a xH =Hx.
1) Soit H un sous-groupe de G. Montrer que H est normal si et seulement si pour tout x∈ G on a xHx−1 ⊆H.
2) On appelle centre de Gl’ensemble Z(G) ={x∈G; xy=yx pour touty∈G}. Montrer que Z(G) est un sous-groupe normal de G.
3) Soit (Sn,◦) le groupe des permutations de{1,2, . . . , n} (n≥1). On note Id l’´el´ement neutre de ce groupe. Montrer que si n≥3, alors Z(Sn) = {Id}.
4) Montrer que si n≥3, les sous-groupes `a deux ´el´ements de Sn ne sont pas normaux.
5) Soit n un entier ≥ 2. On consid`ere le groupe multiplicatif des matrices n×n inversibles, `a coefficients r´eels G= GLn(R) et on se propose de d´eterminer Z(G).
a) On noteEi,j (1≤i, j ≤n) les matrices ´el´ementaires : (Ei,j)k,l = 0 si (k, l)6= (i, j) et 1 sinon.
Montrer que pour tout (i, j), on aIn+Ei,j ∈G.
b) Soit A ∈ Mn(R). Soit (e1, e2, . . . , en) la base canonique de Rn. Pour tout (i, j, k) calculer AEi,jek etEi,jAek.
c) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que Z(G) =
λIn; λ∈R\ {0} .
Exercice 2 – Soit (G,·) un groupe fini d´el´ement neutre e. On note encore Z(G) son centre.
1) Soit R la relation de G d´efinie par xRy ⇔ ∃a ∈ G tel que y = axa−1. Montrer que R est une relation d’´equivalence.
2) Si x ∈ G on note Orb(x) et on appelle orbite de x la classe de x pour R. Montrer que Orb(x) = {x} si et seulement six∈Z(G).
3) Pour x∈G, on note N(x) ={a∈G; axa−1 =x}. Montrer que N(x) est un sous-groupe de G.
4) Soit x∈Gfix´e. On consid`ere l’applicationf :G→Orb(x) d´efinie par f(a) = axa−1. Soit S la relation de Gd´efinie paraSb⇔f(a) =f(b). Montrer que S est une relation d’´equivalence et que pour tout a∈Gla classe de a pour S est N(x)a.
5) Montrer que toutes les classes pour S ont pour cardinal |N(x)|.
6)En factorisantf, montrer que le cardinal de Orb(x) divise le cardinal deGet plus pr´ecis´ement que |G|=|N(x)| · |Orb(x)|.
7) On suppose Z(G)6= G. Montrer qu’il existe des orbites de cardinal ≥2 que l’on notera O1, O2, . . . , Ok et ´etablir que |G|=|Z(G)|+Pk
i=1|Oi|.
8) On suppose que |G| =pr o`u p est premier et r≥ 1. Montrer qu’il existe un entier c≥1 tel que |Z(G)| = pc de telle sorte que Z(G) n’est pas r´eduit `a {e}. On pourra distinguer les cas Z(G) = Get Z(G)6=G.
9) On se propose d´esormais de montrer que si p est premier, un groupe d’ordre p2 est ab´elien.
Soit donc (G,·) un tel groupe d’´el´ement neutre eet de centre Z(G).
a) Rappeler pourquoi un groupe d’ordre pest cyclique.
b) On suppose dans la suite que Z(G) 6= G, i.e. que G n’est pas ab´elien. Pourquoi a-t-on
|Z(G)|=p?
c) Soient donc g un g´en´erateur de Z(G) et h∈G\Z(G). Montrer queZ(G)∩ hhi={e}.
d) Montrer que tout ´el´ement deGs’´ecrit sous la forme gihj o`ui, j ∈ {0,1, . . . , p−1}et prouver que cela contredit l’hypoth`eseZ(G)6=G.
e) Conclure.
