ENS Lyon - L3 27 avril 2009 Analyse complexe
Fin TD-7
Exercice 1.
Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage du disqueD(0,2), telle que
∀z∈∂D(0,2), |f(z)| ≤1.
Calculer le nombre de z´eros dans D(0,2) de la fonction g:z7→z10+f(z) + 1.
Exercice 2.
Soit n∈N∗ eta0, . . . , an−1 ∈C. Montrer que g(z) = zn+an−1zn−1+. . .+a0 a exactement n z´eros dansC (compt´es avec multiplicit´e).
Exercice 3.
Soit (fn)nune suite de fonctions enti`eres qui converge uniform´ement sur tout compact deCvers une fonction enti`ere non nullef. On suppose qu’aucune des fn ne s’annule surC\R. Montrer quef ne s’annule pas surC\R.
Exercice 4.
Montrer que la fonction f :z 7→
+∞
Y
n=0
1 +z2n
est bien d´efinie et continue surD(0,1). Montrer que∀z∈D(0,1), f(z) =1−z1 .
Exercice 5.
Soit (pn)n la suite des nombres premiers rang´es par ordre croissant, ets∈Ctel que Re(s)>1.
1. Pour N ∈ N, on pose FN(s) = QN j=0
1−1/psj
. V´erifier que ζ(s)FN(s) = P
k∈AN
1 ks, o`u AN est l’ensemble des entiers qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers p0, . . . , pN.
2. En d´eduire queζ(s)6= 0 et que 1
ζ(s) = Y
n≥0
1− 1
psn
.
Exercice 6.
Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage de ∆ telle que |f(z)| <1 sur le cercle ∂∆.
D´eterminer le nombre de points fixes def dans ∆.
1
