4)Montrer que l’intgrale g´en´eralis´ee Z

LM 260 B

Partiel du 15 novembre 2013 Exercice 1

Soitaest un r´eel strictement positif donn´e. D´eterminer la nature des s´eries num´eriques de termes g´en´eraux:

un= (−1)ⁿ

ln (n+ (−1)ⁿ), n≥2, vn = (−1)ⁿ

ln (n) + (−1)ⁿ, n≥1, wn=e¹ⁿ−e^n+a1 , n≥1 Exercice 2

1)Soitβ un r´eel positif. Pourn≥0, on poseun=

Z (n+1)^π₂

n^π₂

dt 1 +t^βsin²(t). En posant,µn=

(n+ 1)π 2

^β₂

et λn = nπ

2 ^β₂

, montrer que Z ^π₂

0

dt

1 +µ²_nsin²(t) ≤un ≤ Z ^π₂

0

dt 1 +λ²_nsin²(t) 2) On poseIn =

Z ^π₂

0

dt

1 +µ²nsin²(t) et Jn = Z ^π₂

0

dt

1 +λ²nsin²(t). En utilisant les in´egalit´es 2

πt≤sin(t)≤t, pourt∈[0,π

2], montrer que :

In≥ arctan(µnπ 2) µn

etJn ≤π 2

arctan(λn) λn

3)En d´eduire, selon la valeur deβ, la nature de la s´erie num´erique de terme g´en´eralun. 4)Montrer que l’intgrale g´en´eralis´ee

Z +∞

0

dt

1 +t^βsin²(t) est convergente si et seulement siβ >2.

Exercice 3

On d´esigne par (fn)n∈N^∗ la suite de fonctions d´efinies pourt∈[0,+∞[ etn≥1 par : fn(t) = 2nt n+t. 1)Montrer que cette suite converge simplement sur [0,+∞[ et trouver sa limite.

2)Montrer que la convergence de la suite (fn)n∈N^∗ n’est pas uniforme sur l’intervalle [0,+∞[.

3)D´eterminer les sous-intervalles de [0,+∞[ sur lesquels la convergence de la suite (fn)n∈N^∗ est uniforme.

4)Montrer que la suite (f_n^′)n∈N^∗ ne converge pas uniform´ement sur [0,+∞[.

5)D´eterminer les sous-intervalles de [0,+∞[ sur lesquels la convergence de la suite (fn^′)n∈N^∗ est uniforme.

6)Montrer que pour toutx∈[0,+∞[, lim

n→+∞

Z x

0

fn(t)dt=x². Exercice 4

On consid`ere la s´erie de fonctions sur ]−1,+∞[ de terme g´en´eralun, d´efinin≥1 par : un(t) = (−1)ⁿ⁻¹ n+t . 1)Montrer que cette s´erie converge simplement sur ]−1,+∞[. Soitssa somme.

2)Montrer que cette s´erie converge uniform´ement sur tout intervalle de la forme [a,+∞[⊂]−1,+∞[.

3) Montrer que la somme de la s´erie de terme g´en´eral un est de classe C¹ sur ]−1,+∞[ et exprimer la d´eriv´ees^′ descomme somme d’une s´erie de fonctions.

4)En admettant que

+∞

X

n=1

1 n² =π²

6 , calculer les sommes

+∞

X

n=1

1 (2n)² et

+∞

X

n=0

1 (2n+ 1)². 5)En d´eduire la valeur de s^′(0).

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