2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

(1)

Chapitre XI

Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

Soitf: [a, b[→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b[, oùb∈R ∪ {+∞}. 1. On dit que l’intégrale généralisée

Z b a

f(t)dtest convergente si la limite :

x→blim Z x

a

f(t)dt

existe et est finie. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest divergente.

2. Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dt est convergente, on note Z b

a

f(t)dtle nombre r´eel lim

x→b

Z x a

f(t)dt.

Définition 1 (Intégrale généralisée d’une fonction continue par morceaux sur [a, b[)

◮ Exemple 1

1. L’intégrale généralisée Z +∞

0

1

1 +t² dtest convergente et on a Z +∞

0

1

1 +t² dt= π 2. En effet, pour tout x∈[0,+∞[ :

Z x 0

1

1 +t² dt= [arctan(t)]^x₀ = arctan(x) et donc lim

x→+∞

Z x 0

1

1 +t² dt=π 2. 2. L’intégrale généralisée

Z 0

−1

1

t² dt est divergente.

En effet, pour tout x∈]− ∞,0[ : Z x

−1

1 t² dt=

−1 t

x

−1

=−1 x−1 et donc lim

x→0⁻

Z x

−1

1

t² dt= +∞.

◮ Remarque

La définition précédente admet un analogue pour une fonction continue par morceaux sur ]a, b]. On l’énonce ci-après.

1

(2)

Soitf: ]a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, b], o`ua∈R ∪ {−∞}. 1. On dit que l’int´egrale

Z b a

f(t)dtest convergente si la limite :

x→alim Z b

x

f(t)dt

existe et est finie. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest divergente.

2. Si l’int´egrale Z b

a

f(t)dt est convergente, on note Z b

a

f(t)dtle nombre r´eel lim

x→a

Z b x

f(t)dt.

Définition 2 (L’intégrale généralisée d’une fonction continue par morceaux sur ]a, b])

◮ Exemple 2

1. L’intégrale généralisée Z 0

−∞

1

1 +t² dtest convergente et on a Z 0

−∞

1

1 +t² dt= π 2. En effet, pour tout x∈]− ∞,0] :

Z 0 x

1

1 +t² dt= [arctan(t)]⁰_x=−arctan(x) et donc lim

x→−∞

Z 0 x

1

1 +t² dt= π 2. 2. L’intégrale généralisée

Z 2 0

1

t dtest divergente.

En effet, pour tout x∈]0,2] :

Z 2 x

1

t dt= [ln(t)]²_x= ln(2)−ln(x) et donc lim

x→0⁺

Z 2 x

1

t dt= +∞.

1. Soitf: [a, c[→Rune fonction continue par morceaux sur [a, c[, o`uc∈R∪ {+∞}. Soitb∈[a, c[.

(a) L’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente si et seulement si l’intégrale généralisée Z c

b

f(t)dt est convergente.

(b) Si l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente, alors on a : Z c

a

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt.

2. Soitf: ]a, c]→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, c], o`ua∈R ∪ {−∞}. Soitb∈]a, c].

(a) L’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente si et seulement si l’intégrale généralisée Z b

a

(b) Si l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente, alors on a : Z c

a

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt.

Théorème 1 (Relation de Chasles pour les intégrales généralisées)

(3)

1. D ÉFINITION ET PREMI ÈRES PROPRI ÉT ÉS DE L’INT ÉGRALE G ÉN ÉRALIS ÉE 3 Preuve

On démontre la première assertion, la deuxième se montrant de même. Soitx∈[b, c[. D’après la relation de Chasles, pour l’intégrale (non généralisée), on a :

(∗)

Zx

a

f(t)dt= Zb

a

f(t)dt

| {z }

constante r´eelle ind´ependante dex

+ Zx

b

f(t)dt.

On en d´eduit que lim

x→c

Zx

a

f(t)dtexiste et est finie si et seulement si lim

x→c

Zx

b

f(t)dt, d’o`u l’assertion 1.(a). Dans le cas o`u ces limites existent, en faisant tendrexverscdans (∗), on obtient :

xlim→c

Zx

a

f(t)dt

| {z } Zc

a

f(t)dt

= Zb

a

f(t)dt+ lim

x→c

Zx

b

f(t)dt

| {z } Zc

b

f(t)dt

i.e. l’assertion 1.(b).

◮ Exemple 3 :On a vu, dans l’exemple 1, que l’intégrale généralisée Z +∞

0

1

1 +t² dtest convergente et que : (∗)

Z +∞

0

1

1 +t² dt=π 2.

De la relation de Chasles pour les intégrales généralisées, on déduit alors que l’intégrale généralisée Z +∞

1

1 1 +t² dt est convergente et que :

(∗∗)

Z +∞

0

1

1 +t² dt= Z 1

0

1 1 +t² dt+

Z +∞

1

1 1 +t² dt.

De plus, on a :

(∗ ∗ ∗)

Z 1 0

1

1 +t² dt= [arctan(t)]¹₀=π 4. De (∗), (∗∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit que :

Z +∞

1

1 1 +t² =π

4. Les résultats obtenus ici (convergence de l’intégrale généralisée

Z +∞

1

1 +t² dt et ´egalit´e Z +∞

1

1 +t² = π 4) peuvent être démontrés sans appliquer la relation de Chasles pour les intégrales généralisées, en suivant la même démarche que dans le 1. de l’exemple 1.

Soitf: ]a, c[→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, c[, o`ua, c∈R ∪ {−∞,+∞}. Soitb∈]a, c[.

1. On dit que l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente si les deux intégrales généralisées Z b

a

f(t)dt et

Z c b

f(t)dt sont convergentes. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale généralisée Z c

a

f(t) dt est divergente.

2. Si l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente, alors on note Z c

a

f(t)dtle nombre r´eel Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt.

On peut montrer, à l’aide de la relation de Chasles pour les intégrales généralisées, que les définitions 1 et 2 ne dépendent pas du nombreb∈]a, c[.

Définition 3 (L’intégrale généralisée d’une fonction continue par morceaux sur ]a, b[)

◮ Exemple 4 :On sait que :

(4)

(*) l’intégrale généralisée Z +∞

0

1

1 +t² dtest convergente et que Z +∞

0

1

1 +t² dt=π

2 (cf. exemple 1) ; (**) l’intégrale généralisée

Z 0

−∞

1

1 +t² dtest convergente et que Z 0

−∞

1

1 +t² dt=π

2 (cf. exemple 2).

On en déduit que l’intégrale généralisée Z +∞

−∞

1

1 +t² dtest convergente et que : Z +∞

−∞

1

1 +t² dt= Z 0

−∞

1 1 +t² dt+

Z +∞

0

1

1 +t² dt=π.

1. Soit f: [a, c[→ R une fonction continue par morceaux sur [a, c[, o`u c ∈ R ∪ {+∞}. On suppose que l’hypoth`ese (H1) suivante est satisfaite.

(H1) ∀x∈[a, c[,f(x)≥0.

Soit la fonctionF d´efinie par :

F: [a, c[→R , x7→

Z x a

f(t)dt.

(a) Si la fonctionF est major´ee, alors lim

x→cF(x) existe et est finie, i.e. l’intégrale généralisée Z c

a

(b) Si la fonctionF n’est pas major´ee, alors lim

x→cF(x) = +∞et donc : l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dt est divergente.

2. Soit f: ]a, c] → R une fonction continue par morceaux sur ]a, c], o`u a ∈ R ∪ {−∞}. On suppose que l’hypoth`ese (H2) suivante est satisfaite.

(H2) ∀x∈]a, c],f(x)≥0.

Soit la fonctionF d´efinie par :

F: ]a, c]→R , x7→

Z c x

f(t)dt.

(a) Si la fonctionF est major´ee, alors lim

x→aF(x) existe et est finie, i.e. l’intégrale généralisée Z c

a

(b) Si la fonctionF n’est pas major´ee, alors lim

x→aF(x) = +∞et donc : l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dt est divergente.

Théorème 2 (Résultat fondamental : dichotomie dans le cas positif )

◮ Remarque

L’hypothèse (H1) peut-être affaiblie. On peut la remplacer par l’hypothèse plus générale :

(H₁^′) ∀b∈[a, c[,∀x∈[a, b],f(x)≥0, sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [a, b].

sans que la conclusion du théorème ne soit modifiée. De même, on peut remplacer la condition (H2) par :

(H₂^′) ∀b∈]a, c],∀x∈[b, c],f(x)≥0, sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [b, c].

◮ Remarque

Ce théorème est admis. On souligne simplement que l’hypothèse (Hi) ou (Hi^′) (i∈ {1,2}) implique la croissance de la fonctionF. C’est un point important de la démonstration. Le théorème précédent est à rapprocher du théorème d’analyse suivant : toute suite croissante majorée converge.

(5)

2. INTERPR ÉTATION G ÉOM ÉTRIQUE DE L’INT ÉGRALE G ÉN ÉRALIS ÉE 5

2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;−→i ,−→j). L’unité d’aire est l’aire du carré de côté OI, où I est l’unique point du plan tel que−→

OI =−→i.

On a vu, dans le cours de calcul intégral, une interprétation géométrique du nombre Z b

a

f(t)dt, dans le cas o`u f est une fonction continue et positive sur [a, b]. L’int´egrale

Z b a

f(t)dt est l’aire du domaine du plan délimité par la courbe représentative def, l’axe des abscisses et les deux droites d’équationsx=aetx=b.

Cette interprétation géométrique de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a, b] s’étend au cas de l’intégrale généralisée d’une fonction continue et positive sur [a, b[ (respectivement sur ]a, b], sur ]a, b[). Pour alléger l’étude, on ne considère ici que le cas d’une fonction continue et positive sur un intervalle du type [a,+∞[.

Les autres cas se traitent de fa¸con analogue.

Soit f: [a,+∞[→R une fonction continue et positive. On note D le domaine du plan délimité par la courbe représentative def, l’axe des abscisses et la droite d’équationx=a. Ce domaine étant^≪ouvert à droite^≫, son aire peut être finie ou infinie.

D’après le théorème 2, on sait que la limite :

x→+∞lim Z x

a

f(t)dt

existe et qu’elle est soit égale à un nombre réel, soit égale à +∞. Dans les deux cas, cette limite co¨ıncide avec l’aire du domaineD.

Ainsi, si lim

x→+∞

Z x a

f(t) dt est finie (i.e. si l’int´egraleR+∞

a f(t) dt est convergente), on a l’´egalit´e de nombres

r´eels : Z +∞

a

f(t)dt= lim

x→+∞

Z x a

f(t)dt= Aire deD.

◮ Exemple 5 :L’intégrale généralisée Z +∞

1

t² dtest convergente et on a Z +∞

1

t² dt= 1.

En effet, pour toutx∈[1,+∞[ :

Z x 1

1 t² dt=

−1 t

x 1

=−1 x+ 1 et donc lim

x→+∞

Z x 1

1

t² dt = 1. Ainsi l’aire du domaine D du plan délimité par la courbe représentative de la fonctionf: t7→ 1

t², l’axe des abscisses et la droite d’´equationx= 1 est 1.

Cf

D _b

1

3 Trois exemples d’´ etudes d’int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Pour étudier une intégrale généralisée donnée, on peut utiliser les techniques données dans le cours de calcul intégral pour effectuer des calculs :

• int´egration directe (`a l’aide d’une primitive usuelle) ;

• int´egration par parties ;

• int´egration par changement de variable.

(6)

◮ Exemple 6 :Etude d’une intégrale généralisée par intégration directe.´ L’intégrale généralisée

Z 1

√2 2

1

t²−1 dt est divergente. Pour le d´emontrer, on commence par v´erifier¹ que :

∀t∈

"√ 2 2 ,1

"

1 t²−1 = 1

2 1

t−1 − 1 t+ 1

.

On en d´eduit que pour toutx∈

"√ 2 2 ,1

"

: Z x

√2 2

1

t²−1 dt = 1 2

Z x

√2 2

1

t−1− 1 t+ 1 dt

= 1

2 [ln(|t−1|)−ln(|t+ 1|)]^x^√2 2

= 1

2 ln(|x−1|)−ln(|x+ 1|)−ln

√2 2 −1

! + ln

√2 2 + 1

!!

= 1

2 ln(1−x)−ln(x+ 1)−ln 1−

√2 2

! + ln

√2 2 + 1

!!

. De ce calcul et de :

x→1lim⁻ln(1−x) = lim

x→0⁺ln(x) =−∞

x→1lim⁻ln(x+ 1) = ln(2) (continuit´e de ln en 2) on d´eduit que

x→1lim⁻ Z x

√2 2

1

t²−1 dt=−∞.

◮ Exemple 7 :Etude d’une intégrale généralisée `´ a l’aide d’une intégration par parties.

L’intégrale généralisée Z 1

0

ln(t) dt est convergente et Z 1

0

ln(t) dt= −1. Pour le montrer, on va effectuer une int´egration par parties, pour calculer l’int´egrale

Z 1 x

ln(t)dt, pourx∈]0,1].

Soientuetv les fonctions d´efinies sur ]0,1] par :

∀t∈]0,1] u(t) =tet v(t) = ln(t).

Les fonctionsuetv sont de classeC¹sur ]0,1] et on a :

∀t∈]0,1] u^′(t) = 1 etv^′(t) = 1 t. Soitx∈]0,1]. La formule d’int´egration par parties donne :

Z 1 x

ln(t)dt= Z 1

x

|{z}1

u^′(t)

ln(t)

|{z}

v(t)

dt= [tln(t)]¹_x− Z 1

x

t 1

t dt=−xln(x)−[t]¹_x=−xln(x)−1 +x.

1. La décomposition utilisée ici se généralise comme suit. Soita∈R^∗. Alors il existe un unique couple (α, β)∈R²tels que pour toutx∈R\ {−a, a}

1

x²−a² = α x−a+ β

x+a. En pratique, pour d´eterminerαetβ, on ´ecrit α

x−a+ β

x+a sous la forme d’une seule fraction ayant pour dénominateur (x− a)(x+a) =x²−a²et≪on identifie les coefficients des numérateurs≫, qui sont des polynômes enx. On obtient alors un système linéaire 2×2 que l’on résout.

(7)

3. TROIS EXEMPLES D’ ÉTUDES D’INT ÉGRALES G ÉN ÉRALIS ÉES 7 De ce calcul et de :

x→0lim⁺xln(x) = 0 (croissances compar´ees) on d´eduit que :

x→0lim⁺ Z 1

x

ln(t)dt=−1.

◮ Exemple 8 :Etude d’une intégrale généralisée `´ a l’aide d’un changement de variable.

L’int´egrale Z ^π₂

π 4

1

cos(u) du est divergente. Pour le voir, on va calculer, pour tout x ∈ hπ 4,π

2 h

, l’int´egrale Z x

π 4

1

cos(u) du`a l’aide du changement de variablet= sin(u).

Soitx∈hπ 4,π

2 h

. On remarque que : (∗)

Z x

π 4

1

cos(u) du = Z x

π 4

1

cos²(u) cos(u)du

= Z x

π 4

1

1−sin²(u) cos(u)du. (cos²(u) + sin²(u) = 1 donc cos²(u) = 1−sin²(u)).

La derni`ere int´egrale est une expression du type Z β

α

f(ϕ(u))ϕ^′(u)du, o`u :

α=π

4 ; β=x ; f: ]−1,1[→R, t7→ 1

1−t² ; ϕ: hπ 4,π

2 h

, u7→sin(u).

La fonctionϕest de classeC¹ surhπ 4, xi

. On peut donc appliquer la formule du changement de variable. Pour effectuer le changement de variablet= sin(u), on calcule :

dt= sin^′(u)du= cos(u)du ; sinπ 4

=

√2 2 . On a donc :

(∗∗)

Z x

π 4

1

1−sin²(u) cos(u)du= Z sin(x)

√2 2

1 1−t² dt.

De (∗) et (∗∗), on d´eduit que : (∗ ∗ ∗)

Z x

π 4

1

cos(u) du= Z sin(x)

√2 2

1 1−t² dt.

Or on a :











x→lim^π₂⁻sin(x) = 1⁻ (continuit´e de sin en π 2)

X→1lim⁻ Z X

√2 2

1

1−t² dt=− lim

X→1⁻

Z X

√2 2

1

t²−1 dt= +∞ (cf. exemple 6)

et donc (composition de limites) on voit que :

(∗ ∗ ∗∗) lim

x→^π₂⁺

Z sin(x)

√2 2

1

1−t² dt= +∞. De (∗ ∗ ∗) et (∗ ∗ ∗∗), on d´eduit alors que :

x→lim^π₂⁺ Z x

π 4

1

cos(u)du= +∞.

(8)

4 Le crit` ere de Riemann

Soitαun nombre r´eel.

1. Si α <1, alors :

(a) l’intégrale généralisée Z 1

0

1

t^α dtest convergente ; (b) l’intégrale généralisée

Z +∞

1

t^α dtest divergente . 2. Si α >1, alors :

(a) l’intégrale généralisée Z 1

0

1

t^α dtest divergente ; (b) l’intégrale généralisée

Z +∞

1

t^α dtest convergente . 3. Si α= 1, alors les intégrales généralisées

Z 1 0

1 t^α dtet

Z +∞

1

t^α dtsont divergentes.

Théorème 3 (Critère de Riemann)

Preuve

• Cas o`uα6= 1

On suppose queα6= 1. Alors une primitive de la fonction

fα: ]0,+∞[→R, t7→ 1 t^α=t⁻^α sur ]0,+∞[ est donn´ee par la fonction :

F^α: ]0,+∞[→R, t 7→ 1 1−αt¹⁻^α. On en d´eduit que pour toutx∈]0,+∞[ :

(∗)

Z1 x

1 t^α dt=

1 1−αt¹⁻^α

1 x

= 1

1−α

1−x¹⁻^α .

(∗∗)

Zx

1

1 t^α dt=

1 1−αt¹⁻^α

x

1

= 1

1−α

x¹⁻^α−1 .

De (∗), on d´eduit que :

siα <1 lim

x→0+

Z1 x

1

t^α dt = lim

x→0+

1 1−α

1−x¹⁻^α

= 1

1−α∈R (car 1−α >0) siα >1 lim

x→0+

Z₁

x

1

t^α dt = lim

x→0+

1 1−α

1−x¹⁻^α

= +∞ (car 1−α <0)

et de (∗∗), on d´eduit que : siα <1 lim

x→+∞

Zx

1

t^α dt = lim

x→+∞

1 1−α

x¹⁻^α−1

= +∞ (car 1−α >0)

siα >1 lim

x→+∞

Zx

1

t^α dt = lim

x→+∞

1 1−α

x¹⁻^α−1

= 1

1−α×(−1) = 1

α−1∈R (car 1−α <0).

Les assertions 1. et 2. sont donc d´emontr´ees.

• Cas o`uα= 1

Siα= 1, alors pour toutt∈]0,+∞[, 1 t^α= 1

t.Une primitive de la restriction de la fonction inverse sur ]0,+∞[ ´etant donn´ee par la fonction ln, on a :

lim

x→0+

Z₁

x

1

tdt = lim

x→0+

−ln(x) = +∞

x→lim+∞

Zx

1

t dt = lim

x→+∞ln(x) = +∞.

Le troisième point du théorème est donc prouvé.

(9)

5. PROPRI ÉT ÉS DE L’INT ÉGRALE G ÉN ÉRALIS ÉE 9

◮ Exemple 9 :D’après le critère de Riemann, les intégrales généralisées suivantes sont convergentes : Z 1

0

√1

t dt ;

Z +∞

1

1 t³ dt et les intégrales généralisées suivantes sont divergentes :

Z +∞

1

√1

t dt ;

Z 1 0

1

t³ dt ;

Z +∞

1

1 t dt.

5 Propri´ et´ es de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur l’intervalle [a, b[ (respectivement ]a, b]), o`u a, b ∈ R ∪ {−∞,+∞}. Soientλ, µ∈R.

Si les intégrales généralisées Z b

a

f(t)dtet Z b

a

g(t)dtsont convergentes, alors l’intégrale généralisée Z b

a

λf(t) +µg(t)dt est convergente et on a l’´egalit´e :

λ Z b

a

f(t)dt

! +µ

Z b a

g(t)dt

!

= Z b

a

λf(t) +µg(t)dt.

Théorème 4 (Linéarité de l’intégrale généralisée)

Preuve

La démonstration de ce théorème est analogue à celle du théorème 1 (relation de Chasles). On applique la propriété de linéarité de l’intégrale, vue dans le cours de calcul intégral, et on≪passe à la limite≫ dans cette égalité.

◮ Exemple 10 :D’après le critère de Riemann et le théorème précédent, l’intégrale généralisée : Z +∞

1

3 t² + 4

t³ dt est convergente et on a :

Z +∞

1

3 t² + 4

t³ dt= 3

Z +∞

1

1 t² dt

| {z }

1

+ 4

Z +∞

1

1 t³ dt

| {z }

1 2

= 5.

Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur l’intervalle I = [a, b[ (respectivement I =]a, b]), o`u a, b∈R ∪ {−∞,+∞}. On suppose que l’hypoth`ese (H) suivante est satisfaite.

(H) ∀x∈I,f(x)≤g(x) Si les intégrales généralisées

Z b a

f(t)dtet Z b

a

g(t)dtsont convergentes, alors on a l’in´egalit´e suivante : Z b

a

f(t)dt ≤ Z b

a

g(t)dt.

Théorème 5 (Intégrale généralisée et relation d’ordre)

(10)

◮ Remarque

On peut relaxer l’hypoth`ese (H) et la remplacer par l’hypoth`ese :

(H^′) ∀c, d∈Rtels que [c, d]⊂I,∀x∈[c, d],f(x)≤g(x), sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [c, d]

sans changer la conclusion du th´eor`eme.

Preuve

A nouveau, la d´` emonstration de ce théorème est analogue à celle du théorème 1 (relation de Chasles). On applique le lien entre intégrale et relation d’ordre, vu dans le cours de calcul intégral, et on≪passe à la limite≫ dans l’inégalité.

◮ Exemple 11 : Pour toutt∈[1,+∞[, on a 1

t ≤1 (la fonction inverse est d´ecroissante sur [1,+∞[) et donc 1

t⁶ ≤ 1

t⁵ (multiplication des deux membres de l’inégalité précédente par 1

t⁵ >0). D’après le critère de Riemann, les intégrales généralisées

Z +∞

1

1 t⁵ dtet

Z +∞

1

t⁶ dtsont convergentes. On a alors, d’après le résultat précédent : Z +∞

1

1 t⁶ dt≤

Z +∞

1

1 t⁵ dt.

On note que cette inégalité peut aussi être obtenue par un calcul direct de chacun des deux membres de l’inégalité (¹₅ ≤¹₄).

6 Le th´ eor` eme de comparaison (cas positif )

Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur l’intervalle I = [a, b[ (respectivement I =]a, b]), o`u a, b∈R ∪ {−∞,+∞}. On suppose que l’hypoth`ese (H) suivante est satisfaite.

(H) ∀x∈I, 0≤f(x)≤g(x) 1. Si l’intégrale généralisée

Z b a

g(t)dtest convergente, alors l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest aussi convergente et on a :

Z b a

f(t)dt ≤ Z b

a

g(t)dt.

2. Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest divergente, alors l’intégrale généralisée Z b

a

g(t)dt est aussi divergente.

Théorème 6 (Le théorème de comparaison dans le cas positif )

◮ Remarque

On peut, ici aussi, assouplir l’hypoth`ese (H) et la remplacer par :

(H^′) ∀c, d∈Rtels que [c, d]⊂I,∀x∈[c, d], 0≤f(x)≤g(x), sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [c, d]

sans modifier la conclusion du th´eor`eme.

Preuve

(11)

7. LE FAUX PROBL ÈME : CAS O Ù IL EXISTE UN PROLONGEMENT PAR CONTINUIT É 11

On donne la preuve du théorème dans le cas oùIest un intervalle du type [a, b[, l’autre cas se démontrant de fa¸con analogue.

• SoientFetGles fonctions d´efinie par :

F: [a, b[→R, x7→

Zx

a

f(t)dt et G: [a, b[→R, x7→

Zx

a

g(t)dt.

Compte tenu de l’hyptoh`ese (H) (ouH^′) on a : (∗) ∀x∈[a, b[ F(x) =

Zx

a

f(t)dt≤ Zx

a

g(t)dt=G(x) (cf. cours de calcul int´egral).

• On suppose que l’intégrale généralisée Zb

a

g(t)dtest convergente. De cette convergence, de l’hyptohèse (H) (ouH^′) et du théorème 2, on tire :

(∗∗) la fonctionGest major´ee.

De (∗) et (∗∗), on déduit que la fonction F est majorée. D’après le théorème 2, l’intégrale Zb

a

f(t)dtest donc convergente. D’après le théorème 5, on a alors :

Zb

a

f(t)dt ≤ Zb

a

g(t)dt.

L’assertion 1 est donc prouv´ee.

• On suppose que l’intégrale généralisée Zb

a

f(t)dtest divergente. En appliquant le th´eor`eme 2, on obtient lim

x→cF(x) = +∞.D’après le théorème≪des gendarmes≫ et (∗), on a alors lim

x→cG(x) = +∞.Par suite, l’int´egrale Zb

a

g(t)dtest divergente, d’où le deuxième point du théorème.

◮ Exemple 12 :L’intégrale généralisée Z +∞

1

|sin(t)|

t² dtest convergente.

En effet, pour toutx∈[0,+∞[, 0≤ |sin(x)| ≤1 et par suite

∀t∈[1,+∞[ 0≤ |sin(t)| t² ≤ 1

t² (cf. hypoth`ese (H).

D’autre part, l’intégrale généralisée Z +∞

1

t² dtest convergente (critère de Riemann). En appliquant le théorème de comparaison, on voit que l’intégrale généralisée

Z +∞

1

|sin(t)|

t² dt est convergente.

◮ Remarque

Ce théorème est un outil très utile pour étudier une intégrale généralisée d’une fonction positive, lorsque l’on ne peut pas calculer l’intégrale de la fonctionf. Il s’agit essentiellement du résultat fondamental (cf. théorème 2) revisité. La formulation du théorème 6 le rend plus commode à appliquer.

7 Le faux probl` eme : cas o` u il existe un prolongement par continuit´ e

Soitf une fonction continue sur l’intervalleI= [a, b[ (respectivementI=]a, b]), o`ua, b∈R.

Sif admet un prolongement par continuité à [a, b], alors l’intégrale généralisée : Z b

a

f(t)dtest convergente.

Lemme 1 (Cas o`u il y a prolongement par continuit´e)

Preuve

(12)

On donne la démonstration du théorème dans le cas oùI= [a, b[, l’autre cas se démontrant de fa¸con analogue. On suppose que la fonction fadmet un prolongement par continuité à [a, b]. On le notefb: [a, b]→R. Alors on a :

(∗) ∀t∈[a, b[ f(t) =b f(t) ; (∗∗) fbest continue sur [a, b].

D’apr`es (∗∗), la fonctionfbadmet une primitive Φ sur [a, b] (cf. cours de calcul int´egral). Soitx∈[a, b[.

Zx

a

f(t)dt = Zx

a

f(t)b dt (cf. (∗) et [a, x]⊂[a, b[)

= Φ(x)−Φ(a) (cf. définition de Φ et [a, x]⊂[a, b[) De ce calcul et de la continuité de Φ enb(Φ est dérivable sur [a, b], donc continue sur [a, b]), on a :

lim

x→b−

Zx

a

f(t)dt= Φ(b)−Φ(a)∈R.

L’intégrale généralisée Zb

a

f(t)dtest donc convergente.

◮ Exemple 13 :L’intégrale généralisée Z 1

0

sin(t)

t dtest convergente.

Voici comment on peut justifier cette assertion. Comme lim

t→0

sin(t)

t = 1, la fonctionf d´efinie par : f: ]0,1]→R, t7→ sin(t)

t admet un prolongement par continuit´e : la fonctionfbd´efinie par :

fb: [0,1]→R, t7→





 sin(t)

t sit∈]0,1]

1 sit= 0.

On applique le lemme pr´ec´edent pour conclure.