Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre d’automne 2014-2015 Maths III PMI - Analyse
Feuille d’exercices no1 Int´egrales g´en´eralis´ees
1 Rappels : comparaison locale de fonctions
Exercice 1. 1. Est-ce que ]−1; 0[∪]0; 1[ est un voisinage de 0 ? un voisinage point´e ?
2. Soientf,gethdes fonctions r´eelles d’une variable r´eelle d´efinies sur un voisinage point´e dex0 (avecx0∈R oux0 infini). D´emontrer les assertions suivantes :
(a) sig=x0o(h) alorsf g=x0 o(f h),
(b) sif ∼x0 get h=x0 o(f), alorsh=x0o(g), (c) sif =x0 o(g) et g=x0 O(h), alorsf =x0o(h).
Exercice 2. Soitf :x7→x4+ cos(x) +1x. Pour les fonctionsg suivantes, expliquer si l’on a ou nonf ∼+∞g: 1. g:x7→x4, 2. g:x7→2x4, 3. g:x7→x4+ 1, 4. g:x7→x4+1x.
Exercice 3. Vrai ou faux ? 1. x∼00,
2. x3=+∞o(x3+x2),
3. sin(x) =0x+o(x), 4. 1 =0cos(x) +o(x2),
5. o(f) +o(f) =x0o(f), 6. o(x2) +o(x) =0o(x),
7. ln(1 +x)−x=0o(1).
Exercice 4. Calculer les limites suivantes :
1. lim
x→0
sin(2x)
sin(x), 2. lim
x→0
2
sin2(x)− 1 1−cos(x)
.
2 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
Exercice 5. Etudier la convergence des int´´ egrales g´en´eralis´ees suivantes et calculer ´eventuellement leur valeur : 1.
Z +∞
0
e−xdxet Z +∞
−∞
e−|x|dx, 2.
Z +∞
1
1 xαdxet
Z 1
0
1
xαdx, discuter du r´esultat en fonction de la valeur deα∈R, 3.
Z 1
0
ln(x) dxet Z +∞
1
ln(x) x2 dx.
Exercice 6. D´emontrer l’´enonc´e suivant :
Th´eor`eme : Soit f : [1,+∞[→ R+ une fonction continue, et soit g : [0,+∞[→ R une fonction continue par morceaux. Supposons que |g| ≤f. Si l’int´egrale
Z +∞
1
f(x) dxconverge, alors l’int´egrale impropre Z +∞
1
g(x) dx existe ´egalement.
Exercice 7. Les fonctions suivantes sont-elles absolument int´egrables sur les intervalles donn´es :
1
1. t7−→ ln(t)
t1/2 sur ]0; 1], 2. x7−→ e−x
√x sur ]0; +∞[,
3. x 7−→ xa−1e−x sur ]0; +∞[, pour a > 0 fix´e. On note lorsque cela a un sens Γ(a) :=
Z +∞
0
xa−1e−xdx.
Calculer Γ(n+ 1) pourn∈N.
(Indication : commencer par prouver que∀n∈N∗, Γ(n+ 1) =nΓ(n).) Exercice 8. D´emontrer l’´enonc´e suivant :
Th´eor`eme : Soitf : [1,+∞[→R+ une fonction continue et d´ecroissante. On a alors l’´equivalence suivante :
N→∞lim
N
X
n=1
f(n) existe ⇐⇒
Z ∞
1
f(x) dx converge.
Exercice 9. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sura∈Rpour que l’int´egrale Z ∞
0
t−sint
ta dtexiste.
Exercice 10. D´eterminer la nature des int´egrales suivantes :
1.
Z ∞
1
arctan(x) xln(2 +x2)dx, 2.
Z ∞
0
e−
√tdt,
3.
Z 1
0
coshx−cosx x5/2 dx, 4.
Z ∞
0
√xsin 1/x2 ln(1 +x) dx.
Exercice 11. Montrer que les int´egrales impropres suivantes existent :
1.
Z +∞
0
sin(y)
y dy, 2.
Z +∞
0
sin(x2) dx (Int´egrale de Fresnel)
Exercice 12 (Crit`ere de Cauchy). D´emontrer l’´enonc´e suivant :
Th´eor`eme : Soit f : [1,+∞[→ R une fonction continue. Alors l’int´egrale impropre Z +∞
1
f(x) dx existe si et seulement si pour toutε >0 il existeR >1 tel que pour touta, b > Ron a :
Z a
1
f(x) dx− Z b
1
f(x) dx
=
Z a
b
f(x) dx
< ε.
Exercice 13. D´emontrons de deux mani`eres diff´erentes que t7−→ sint
t n’est pas int´egrable sur [1; +∞[.
1. (a) Montrer que pour toutt∈R,|sint| ≥sin2t.
(b) D´emontrer que l’int´egrale Z +∞
1
cos(2t)
t dtest semi-convergente.
(c) En d´eduire quet7−→ sint
t n’est pas int´egrable sur [1; +∞[.
2. En utilisant les s´eries num´eriques : (a) Soitk∈N∗. Calculer
Z (k+1)π
kπ
|sint|dt.
(b) SoitN ∈N∗. Montrer que Z N π
π
|sint|
t dt≥
N−1
X
k=1
2 (k+ 1)π. (c) Montrer que pour tout k ∈ N∗, on a ln(k+ 1)−lnk ≤ 1
k. En d´eduire la limite de
N
X
k=2
1
k lorsque N →+∞.
(d) Conclure sur la non int´egrabilit´e det7−→ sint
t sur [1; +∞[.
2
