Feuille d’exercices n˚12 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚12 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Exercice 172 : Montrer que les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont convergentes et donner leurs valeurs.

a) Z +∞

1

1

t² dt b)

Z 0

−1

√ 1

t+ 1 dt c)

Z 1

−1

√ 1

1−t² dt d) Z +∞

0

te^−t2dt

e) Z 1

0

tln(t)dt f) Z 1

−1

ln(1 +t)dt g) Z +∞

0

te^−tdt h)

Z +∞

0

1 t²+ 2t+ 1 dt

Exercice 173 : Soitλ∈R^+×.

1. D´emontrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee :

Z +∞

0

e^−λtdt est convergente.

2. Pour quelle valeur deC∈Ra-t-on :

Z +∞

0

Ce^−λtdt= 1 ?

F Exercice 174 : Soitf:R→Rune fonction continue telle que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

0

f(t)dtest convergente.

1. Montrer que sif est paire, alors l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

−∞

f(t)dtest convergente et : Z +∞

−∞

f(t)dt= 2 Z +∞

0

f(t)dt.

2. Montrer que sif est impaire, alors l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

−∞

f(t)dtest convergente et : Z +∞

−∞

f(t)dt= 0.

Exercice 175

1. D´emontrer que pour toutt∈[1,+∞[, on ae^−t22 ≤e^−t2. 2. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee :

Z +∞

0

e^−t

2 2 dt est convergente.

3. En d´eduire que l’int´egrale g´en´eralis´ee :

Z +∞

−∞

e^−t

2 2 dt

est convergente. Le nombre r´eel Z +∞

−∞

e^−t

2

2 dtjoue un grand rˆole en th´eorie des probabilit´es. Le r´esultat suivant est admis.

1

Z +∞

−∞

e^−t

2

2 dt=√ 2π

4. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee :

Z +∞

−∞

e^−(t−1)28 dt est convergente et donner sa valeur.

Exercice 176

1. D´eterminer la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee : Z +∞

1

1 t⁸+ 1 dt.

2. (a) D´emontrer que pour toutt∈[e,+∞[, 1

t²ln(t)≤ 1 t². (b) En d´eduire la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee :

Z +∞

e

1 t²ln(t) dt.

F Exercice 177

1. Montrer que pour toutx∈R, l’int´egrale g´en´eralis´ee : Z x

−∞

e^−t1[0,+∞[(t)dt

est convergente.Indication : On pourra scinder l’´etude en plusieurs parties, suivant la valeur dex.

2. ´Etudier la fonctionF d´efinie par :

F: R→R, x7→

Z x

−∞1[0,1](t)dt.

Exercice 178 : Montrer que les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont convergentes et calculer leurs valeurs.

1. (a) Z +∞

−∞

t1[0,1](t)dt; (b)

Z +∞

−∞

t²1[0,1](t)dt; 2. (a)

Z +∞

−∞

t e^−t1[0,+∞[(t)dt; (b)

Z +∞

−∞

t²e^−t1[0,+∞[(t)dt 3. (a)

Z +∞

−∞

t e^−t

2 2 dt; (b)

Z +∞

−∞

t²e^−t

2

2 dt.Indication : on pourra utiliser les r´esultats de l’exercice 175.

F Exercice 179 : D´eterminer la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee : Z +∞

0

ln(1 +t)

t dt.

2