Chapitre 7 Les intégrales généralisées

(1)

Chapitre 7

Les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

(2)

Table des mati` eres

1 Int´egrale sur un intervalle semi-ouvert 2

1.1 Rappel sur l’int´egrale sur un segment . . . 2

1.2 Concept d’intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert . . . 2

1.2.1 Conjecture sur l’existence d’intégrales généralisées à l’aide de Python . . . 2

1.2.2 D´efinition . . . 4

1.3 Notion d’int´egrale faussement impropre . . . 6

1.4 Int´egrales de Riemann . . . 7

2 Extension de la d´efinition 8 2.1 Relation de Chasles . . . 8

2.2 Int´egrale sur un intervalle ouvert . . . 9

2.3 Extension . . . 10

3 Propriétés de l’intégration sur un intervalle ouvert 12 3.1 Linéarité . . . 12

3.2 Croissance de l’int´egration . . . 13

3.3 Int´egrations par parties . . . 13

3.4 Changement de variable . . . 14

4 Des crit`eres de convergence 15 4.1 Divergence grossi`ere . . . 15

4.2 Cas des fonctions paires ou impaires . . . 16

4.3 Notion d’absolue convergence . . . 16

5 Des critères de convergence avec des intégrandes positives 18 5.1 Le théorème de majoration . . . 18

5.2 Le th´eor`eme de comparaison . . . 19

5.3 Par ´equivalence . . . 20

5.4 Par domination . . . 21

6 Exercices du td 22

(3)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Intégrale sur un intervalle semi-ouvert

On va donner une extension de la d´efinition du symbole Z

I

f(t)dtvu l’an passé pour des fonctions f continue ou continue par morceaux sur un segmentI. On verra cette année ce même symbole avec I intervalle ( par exemple de la forme ]−1,5] ou [3,+∞[) et f par forcément continue sur tout I.

Il s’agit donc de définir une extension du symbole d’intégration à des cas plus larges que ceux déjà connus, tout en conservant les principales propriétés.

1 Int´ egrale sur un intervalle semi-ouvert

On s’int´eresse dans cette partie `a Z

I

f(t) dt avec I intervalle semi-ouvert (de la forme [a, b[ ou [a, b[) et f continue ou continue par morceaux sur I.

1.1 Rappel sur l’int´ egrale sur un segment

Soient a et b deux réels, J le segment d’extrémités a et b et f une fonction numérique continue sur J. On note F l’une des primitives de f surJ.

• On appelle intégrale de a à b de la fonction f le réel F(b)−F(a).

• On le note Z b

a

f(t)dt ou [F(t)]^b_a. D´efinition 1

, Exemple : Z −1

2

cos(t)dt existe car cos est continue sur [−1; 2], on a : Z −1

2

cos(t)dt= [sin(t)]⁻¹₂

= sin(−1)−sin(2)

1.2 Concept d’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee sur un intervalle semi-ouvert

1.2.1 Conjecture sur l’existence d’intégrales généralisées à l’aide de Python

On se demande si Z 1

0

ln(t)dta du sens. Pour cela, on va repr´esenter la fonctionϕ:x7→

Z 1

x

ln(t)dt sur ]0,1]. On va donc calculer ϕ(x) pour x r´eel se rapprochant de 0 et observer si ϕ semble ou non prolongeable en 0.

6 Un peu de python:

Listing 1 – intln01.py

(4)

def f(x) :

r e t u r n np.log(x)

def i n t l n 0 1(a):

x=np.a r a n g e(a, 1 , 0 . 0 1 ) y=f(x)

plt.p l o t(x,y)

y=[ i n t e g r a t e.q u a d(f,1 ,xi) [ 0 ] for xi in x]

plt.p l o t(x,y,’ g ’, l a b e l=r ’ $y = -\ i n t _ { 1 } ^ { x }\ ln ( t ) dt$ ’)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x 2.5

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

y

Integrale de ln sur [0,1]

y=ln(x) y=−

Zx

1 ln(t)dt

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x 5

4 3 2 1 0 1

y

Integrale de ln sur [0,1]

y=ln(x) y=₋

Zx 1 ln(t)dt

On se demande si Z +∞

1

1 tdt et

Z +∞

1

t³dt ont du sens. Pour cela, on va repr´esenter la fonction ϕ:x7→

Z x

1

tdt sur [1,+∞[. On va donc calculer ϕ(x) pourx réel de plus en plus grand et observer siϕ semble ou non admettre une limite en +∞. On fait après la même chose avec x7→

Z x

1

1 t³dt.

6 Un peu de python:

Listing 2 – intrieminf.py def i n t r i e m i n f(alpha, a):

def f(x) :

r e t u r n 1/(x**a l p h a)

ax = plt.a x e s(x l i m=(0 ,a)) x=np.a r a n g e(1 ,a, 0 . 1 )

y=f(x)

plt.p l o t(x,y,l a b e l=r ’ $y =\ f r a c { 1 } { x ^{\ a l p h a }} $ ’) y=[ i n t e g r a t e.q u a d(f,1 ,xi) [ 0 ] for xi in x]

plt.p l o t(x,y,’ g ’, l a b e l=r ’ $y =\ i n t _ { 1 } ^ { x }\ f r a c { 1 } { t ^{\ a l p h a }} dt$ ’)

(5)

0 20 40 60 80 100

x 0

1 2 3 4 5

y

Integrale de Riemann avec α valant 1

0 20 40 60 80 100

x 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y

Integrale de Riemann avec α valant 3

1.2.2 D´efinition

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur à a. Soit f une fonction numérique continue sur [a, b[.

• On dit que l’intégrale généralisée (ou l’intégrale impropre) Z b

a

f(t) dt est convergente (ou converge ou existe au sens des intégrales généralisées) si

lim

x→b⁻

Z x

a

f(t) dt

existe et est finie.

• Si tel est le cas, la valeur de Z b

a

f(t) dt est lim

x→b⁻

Z x

a

f(t) dt

.

• Si lim

x→b⁻

Z x

a

f(t)dt

n’existe pas ou n’est pas finie, on dit que Z b

a

f(t) dt est divergente.

• D´eterminer la nature de Z b

a

f(t) dt signifie d´eterminer si elle est convergente ou divergente.

D´efinition 2

M´ethode:

Prenonsaun réel, b un élément deR∪ {+∞ }strictement supérieur àaetf une fonction numérique continue sur [a, b[. Si b est infini ou si f n’est pas continue en b alors

Z b

a

f(t) dt est une intégrale généralisée. Pour justifier son existence, il faut suivre ces deux étapes :

1. ´Evaluer, pour tout x de [a, b[ (ou sur un voisinage de b), la quantit´e Z x

a

f(t) dt. C’est une intégrale classique (celle de première année), on peut donc lui appliquer toutes les techniques vues l’an passé (intégrations par parties, changement de variables...).

2. Calculer lim

x→b⁻

Z x

a

f(t) dt

. Si elle existe et est finie alors Z b

a

f(t) dt existe et vaut cette limite. Sinon,

Z b

f(t)dt ne converge pas.

(6)

, Exemple :

1. Voici quelques exemples d’intégrales généralisées convergentes :

• Z +∞

0

0 dt.

• Z 0

1

ln(t)dt.

• Z 1

0

√dx

x existe au sens des intégrales généralisées et vaut 2, ce que l’on note Z 1

0

√dx x = 2.

• Z +∞

0

exp(−2t)dt.

• Z +∞

0

1 1 +t²dt.

2. Voici quelques exemples d’intégrales généralisées divergentes :

• Z +∞

1

ln(t) dt.

• Z 10

0

dx x .

* Remarque :

1. On utilise les notations de la précédente définition. On aurait pu écrire que Z b

a

f(t) dt est convergente si lim

x→b⁻(F(x)) (avec F une primitive de f) existe et est finie.

2. On utilise les notations de la précédente définition. Dans la définition précédente, Z b

a

f(t) dt est `a la fois l’´eventuelle limite de x 7→

Z x

a

f(t) dt en b⁻ et l’objet dont on cherche la nature.

Jusque là (pour les suites, les séries, les fonctions), on distinguait ces deux notions. On a dit, par exemple, de bien faire attention à distinguer X

u_n et

+∞

X

k=0

u_k.

3. On utilise les notations de la précédente définition. On définit sans difficulté le concept de Z b

a

f(t) dt avecf continue sur ]a, b] avec b un réel eta un élément deR∪ { −∞ } strictement inférieur à b. Le problème est alors de savoir si lim

x→a⁺

Z b

x

f(t) dt

existe et est fini ou non.

4. On utilise les notations de la précédente définition. On définit sans difficulté la notion de Z b

a

f(t) dt avec a et b non ordonn´e. Il suffit de rappeler que Z b

a

f(t) dt et Z a

b

f(t)dt sont de mˆeme nature et oppos´es.

5. Sif est continue sur [a, b] avecaetbdeux r´eels tels quea < balors, en notantF une primitive def sur [a, b], lim

x→b⁻(F(x)−F(a)) etF(b)−F(a) sont confondus puisqueF est de classeC¹ sur [a, b]. Autrement dit, la définition qu’on vient de donner est cohérente avec celle de l’intégrale classique.

(7)

+ Mise en garde :

• Une intégrale impropre n’est pas une intégrale au sens qui était celui du cours de première année : c’est une limite Cela a des conséquences :

1. On ne peut pas effectuer de calcul avec cette quantit´e tant qu’on n’a pas montr´e qu’elle existait !

2. On utilise les notations de la précédente définition. Nous ne pouvons pas appliquer de changement de variable ou d’intégration par parties directement sur

Z b

a

f(t) dt. Nous pouvons en revanche effectuer ces manipulations, si elles sont l´egitimes, aux int´egrales Z x

a

f(t) dt pour tout x de [a;b[.

• Quand on manipule Z b

a

f(t) dt, il faut utiliser la bonne définition car cette objet est défini différemment suivant la nature de f, a etb. Il y a une définition pour les fonctions continues sur un segment, une autre pour les fonctions continues par morceaux sur un segment et le concept, qu’on développe ici, pour une fonction continue sur un intervalle. Ces définitions sont, bien sûr, cohérentes entre elles (c’est-à-dire que si on peut appliquer plusieurs définitions pour une même fonction, cela donne le même résultat : une fonction continue sur un segment est en particulier une fonction continue par morceaux sur ce segment et aussi une fonction continue sur un intervalle : les trois définitions donnent alors le même résultat!)

- Exercice 1 :

Soit α un réel. Donner la nature des intégrales de suivantes et évaluer-les (en cas de convergence !) : Z +∞

1

dx x^α ,

Z 1

0

dx x^α et

Z +∞

1

exp (−αt)dt.

1.3 Notion d’int´ egrale faussement impropre

Soient a un réel et b un réel strictement supérieur à a. Soit f une fonction numérique continue sur [a, b[. Sif est prolongeable par continuité en b alors l’intégrale généralisée Z b

a

f(t) dt converge. On parle d’int´egrale faussement impropre.

Proposition 3

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente proposition. Si on prend f une fonction numérique continue sur ]a, b] avecbun réel etaun réel strictement inférieur àbet sif est prolongeable par continuité ena alors l’intégrale généralisée

Z b

a

f(t)dt converge et on parle encore d’int´egrale faussement impropre.

(8)

, Exemple : Z 1

0

tln(t) dt et Z 1

0

sin(t)

t dt sont des int´egrales faussement impropres. En effet,· · · + Mise en garde :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.

• Ecrire´ Z b

a

f(t) dt ne signifie pas pour autant que f(a) ou que f(b) existent !

• Ne pas parler d’int´egrale faussement impropre avec les bornes +∞et −∞!

0² ^π2 π ³₂^π 2π

x 0

1

2π

−₃²π

y

=^sin_x^x

Z π

² sinx

x

dx

1.4 Int´ egrales de Riemann

Soit α un r´eel.

• L’int´egrale de Riemann Z +∞

1

dx

x^α est convergente si et seulement si α > 1. Dans ce cas, on a :

Z +∞

1

dx

x^α = 1 α−1.

• L’int´egrale de Riemann Z 1

0

dx

x^α est convergente si et seulement si α < 1. Dans ce cas, on a :

Z 1

0

dx

x^α = 1 1−α. Proposition 4

* Remarque :

Cette proposition n’est pas au programme mais est très classique. Il faut donc savoir la démontrer, en particuliers pour les épreuves d’écrit.

(9)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Extension de la définition

2 Extension de la d´ efinition

2.1 Relation de Chasles

Extension de la relation de Chasles

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur à a. Soient f une fonction numérique continue sur [a, b[.

Z b

a

f(t) dt est convergente si et seulement si il existecun ´el´ement de [a, b[ tel que

Z b

c

f(t) dt soit convergente. Dans ce cas, Z b

c

f(t) dt est convergente pour toutc de [a, b[ et on a :

Z b

a

f(t) dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t) dt.

Proposition 5

* Remarque :

1. On en d´eduit que la nature de Z b

a

f(t)dt ne d´epend que du comportement de f au voisinage de b.

2. Si f est une fonction numérique continue sur ]a, b] avec a un élément de R∪ { −∞ } et b un réel alors

Z b

a

f(t) dt est convergente si et seulement si il existe c un ´el´ement de ]a, b] tel que Z c

a

f(t)dt soit convergente. Dans ce cas, Z c

a

f(t) dtest convergente pour toutcde ]a, b] et on a :

Z b

a

f(t) dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t) dt.

, Exemple : Z 1000

0

ln(t)dt est donc convergente car Z 1

0

ln(t)dt est convergente.

(10)

2.2 Int´ egrale sur un intervalle ouvert

Soient a un élément deR∪ { −∞ } etb un élément deR∪ {+∞ }strictement supérieur

`

a a. Soit f une fonction num´erique continue sur ]a, b[.

• On dit que l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest convergente si il existecun ´el´ement de ]a, b[ tel que

Z b

c

f(t) dt et Z c

a

f(t) dt soient toutes les deux convergentes.

• Si tel est le cas, on a alors : Z b

a

f(t) dt= Z c

a

f(t) dt+ Z b

c

f(t) dt.

• Sinon, on dit que Z b

a

f(t) dt est divergente.

D´efinition 6

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. Cette notion est indépendante du choix de c, il suffit de trouver un seul élément c de ]a, b[ tel que

Z b

c

f(t) dt et Z c

a

f(t) dt soient toutes les deux convergentes et, si on en a trouv´e un,

Z b

α

f(t) dt et Z α

a

f(t) dt seront toutes les deux convergentes pour tous les réels α de ]a, b[. Il suffit même de trouver un réel c de ]a, b[ tel que

Z b

c

f(t) dt soit convergente et un r´eel d de ]a, b[ tel que

Z b

d

f(t) dt soit convergente pour conclure.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Si on trouve un élémentcde ]a, b[ tel que Z b

c

f(t)dt soit divergente alors

Z b

a

f(t) dt ne peut pas ˆetre convergente. Les probl`emes ne se compensent pas.

On n’a pas dit que Z b

a

f(t)dt´etait, sous r´eserve d’existence, lim

h→0

Z b−h

a+h

f(t) dt

(siaetb sont deux r´eels finis) ou lim

h→+∞

Z h

−h

f(t) dt

(si a est −∞ et b +∞).

Z +∞

−∞

t dt est une int´egrale divergente bien que lim

h→+∞

Z h

−h

f(t) dt

existe et soit ´egal `a 0.

(11)

Soient a un élément de R∪ { −∞ } etb un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur

`

aa. Soient f une fonction num´erique continue sur ]a, b[ etF une primitive def sur ]a, b[

. Z b

a

f(t) dt converge si et seulement si lim

x→b⁻(F(x)) et lim

x→a⁺(F(x)) existent toutes les deux et sont, toutes les deux, finies.

Proposition 7

2.3 Extension

Soient a un élément deR∪ { −∞ } etb un élément deR∪ {+∞ }strictement supérieur

`

a a. Soit f une fonction num´erique continue sur ]a, b[ sauf en un nombre fini de points a₁, ..., a_n v´erifiant a < a₁ < ... < a_n< b.

• On dit que Z b

a

f(t)dt converge si les int´egrales suivantes convergent toutes : Z a1

a

f(t)dt, Z a2

a1

f(t)dt, ..., Z an

an−1

f(t)dt, Z b

an

f(t)dt

Si tel est le cas, on pose : Z b

a

f(t)dt = Z a1

a

f(t)dt+ Z a2

a1

f(t)dt+...+ Z an

an−1

f(t)dt+ Z b

an

f(t)dt.

• Sinon, on dit que Z b

a

f(t)dt diverge.

D´efinition 8

* Remarque :

On utilise les notations de la précédente définition. Dans cette définition, on n’a pas supposé f continue par morceaux sur ]a, b[. En effet, on n’a pas imposé que les limites ena⁻_i eta⁺_i soient finies.

On note que, dans le cas particulier oùf est continue par morceaux sur ]a, b[, la définition précédente est cohérente avec la notion d’intégrale de fonction continue par morceaux vue l’an passé.

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente définition. Il faut bien noter de nouveau que les problèmes ne peuvent pas se compenser. Il suffit de la divergence d’une intégrale du type

Z ai

ai−1

f(t)dt(en posant a₀ =a eta_n+1 =b) pour que

Z b

a

f(t)dt soit décrétée divergente.

M´ethode:

Prenons a et b deux élément de R∪ { −∞,+∞ } avec b strictement supérieur à a et f une fonction numérique continue sur ]a, b[. Si l’une de ces trois conditions est vérifiée :

(12)

1. b est infini 2. a est infini

3. a etb sont finis mais f n’est pas continue sur [a, b]

alors Z b

a

f(t)dt est une intégrale généralisée. Pour justifier son existence, il faut suivre ces étapes : 1. On isole les problèmes, on nomme a₁, ..., a_n tous les points de discontinuité de f sur ]a, b[ et

on les ordonne (c’est-`a-dire qu’on suppose que a < a₁ < ... < a_n< b) et on cherche desc₁, ..., cn+1 tels que :

a < c₁ < a₁ < c₂ < a₂ < ... < a_n < c_n+1 < b et tels que f soit continue en ces points.

2. On s’int´eresse `a la nature de Z c1

a

f(t)dt (ce qu’on a appris déjà à faire puisque c’est une intégrale sur un intervalle semi-ouvert). Si elle diverge, on peut affirmer que

Z b

a

f(t)dtdiverge.

Sinon, on poursuit et on passe `a Z a1

c1

f(t)dt...

3. Une fois prouv´ee la convergence de toutes ces int´egrales : Z c1

a

f(t)dt, Z a1

c1

f(t)dt, ..., Z cn+1

an

f(t)dt, Z b

cn+1

f(t)dt, on conclut que

Z b

a

f(t)dt converge et que : Z b

a

f(t)dt = Z c1

a

f(t)dt+ Z a1

c1

f(t)dt+...+ Z cn+1

an

f(t)dt+ Z b

cn+1

f(t)dt.

Soient a un élément de R∪ { −∞ } etb un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur

`

a a. Soit f une fonction num´erique continue sur ]a, b[ sauf en un nombre fini de points a₁, ..., a_n v´erifiant a < a₁ < ... < a_n < b. Pour touti de J0, nK, on note F_i une primitive def sur ]a_i, a_i+1[ (en posant a₀ =a et a_n+1 =b).

Z b

a

f(t) dt converge si et seulement si toutes les conditions suivantes sont v´erifi´ees :

• Pour tout i deJ1, nK, lim

x→a⁻_i

(F_i(x)) et lim

x→a⁺_i

(F_i(x)) existent et sont finies

• lim

x→a⁺(F₀(x)) et lim

x→b⁻(F_n+1(x)) existent et sont finies.

Proposition 9

, Exemple :

1. Pour tout r´eel α, Z +∞

0

dx

x^α est une int´egrale divergente.

2.

Z +∞

−∞

5

1 +t² dt converge. En effet, · · ·

(13)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Propriétés de l’intégration sur un intervalle ouvert

3 Propri´ et´ es de l’int´ egration sur un intervalle ouvert

3.1 Lin´ earit´ e

Linéarité de l’intégration

Soient f et g deux fonctions numériques continues sur un intervalle d’extrémités a et b aveca etb deux éléments de R∪ { −∞,+∞ }. Soientv et udeux réels. On suppose que Z b

a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt convergent, Z b

a

(vf(t) +ug(t))dt converge alors et : Z b

a

(vf(t) +ug(t))dt =v Z b

a

f(t)dt+u Z b

a

g(t)dt.

Proposition 10

+ Mise en garde :

Ne pas confondre linéarité de l’intégration et relation de Chasles. Dans la relation de Chasles, il y a une seule fonction qu’on intègre sur deux domaines d’intégration jointif et dans la linéarité de l’intégration, il y a deux fonctions qu’on intègre sur un même domaine d’intégration.

- Exercice 2 :

1. Donner la nature des int´egrales de suivantes : Z +∞

2

dx x−1 ,

Z +∞

2

dx x+ 1 et

Z +∞

2

dx x²−1. 2. Conclure !

+ Mise en garde :

Comme on vient de le voir, il faut faire attention quand on évoque la linéarité de l’intégration. On utilise les notations de la précédente proposition. On peut avoir

Z b

a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt divergentes avec

Z b

a

(vf(t) +ug(t))dt convergente. Il ne faut donc jamais ”couper” en deux une intégrale, sans s’être assuré que les deux morceaux convergeaient.

(14)

3.2 Croissance de l’int´ egration

Soient f et g deux fonctions numériques continues sur un intervalle d’extrémités a et b avec a un élément de R∪ { −∞ }et b un éléments de R∪ {+∞ }strictement supérieur

` aa.

• Si f est positive et si Z b

a

f(t)dt converge alors Z b

a

f(t)dt > 0 (Positivit´e de l’int´egration).

• Si f est positive et si Z b

a

f(t)dt= 0 alors f = 0.

• Si on a f(t) 6 g(t) pour tout ´el´ement t de ]a, b[ et si Z b

a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt convergent alors on peut affirmer que :

Z b

a

f(t)dt 6 Z b

a

g(t)dt (Croissance de l’int´egration).

Proposition 11

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la précédente proposition. Ne pas oublier l’hypothèse b strictement supérieur à a dans cette proposition. Dans le cas contraire, il ne faut pas oublier d’inverser les inégalités.

3.3 Int´ egrations par parties

Soientf etg deux fonctions à valeurs réelles ou complexes de classeC¹ sur un intervalle d’extrémitésa etb deux éléments de R∪ { −∞,+∞ }telles que t7→f(t)×g(t) admette une limite finie enb⁻ et a⁺. On sait alors que :

• Z b

a

f⁰(t)×g(t) dt et Z b

a

f(t)×g⁰(t) dt sont de mˆeme nature.

• En cas d’existence, on a : Z b

a

f⁰(t)×g(t)dt= lim

t→b⁻(f(t)×g(t))− lim

t→a⁺(f(t)×g(t))− Z b

a

f(t)×g⁰(t)dt.

Proposition 12

* Remarque :

1. On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. En notant : [f(t)×g(t)]^b_a = lim

t→b⁻(f(t)g(t))− lim

t→a⁺(f(t)g(t))

(15)

2. On fait une int´egration par parties si le calcul de Z b

a

f(t)g⁰(t)dt est plus simple que celui de Z b

a

f⁰(t)g(t)dt. Quelques fonctions qu’on aime bien dériver : ln, les polynômes, les fonctions trigonométriques réciproques...

3. En pratique, on n’utilise que rarement ce résultat directement : on préfère se placer sur un segment et procéder à une intégrations par parties comme en première année puis passer à la limite après avoir prouvé la convergence.

- Exercice 3 :

Soit α un r´eel strictement positif. Discuter de la convergence de Z 1

0

ln(x) x^α dx.

3.4 Changement de variable

SoitI un intervalle d’extrémitésa etb avecaun élément deR∪ { −∞ }etb un éléments deR∪ {+∞ } strictement supérieur à a. Soit ϕ une fonction de I dans J, un intervalle de réels, de classe C¹ et strictement monotone. On pose :

c= lim

t→a⁺(ϕ(t)) et d= lim

t→b⁻(ϕ(t)).

Sif est une fonction continue sur J, à valeurs réelles ou complexes, alors les intégrales Z d

c

f(u) du et Z b

a

f(ϕ(t))×ϕ⁰(t)dt sont de mˆeme nature et, en cas de convergence, on a :

Z d

c

f(u) du= Z b

a

f(ϕ(t))×ϕ⁰(t) dt.

On dit qu’on a effectu´e le changement de variable u=ϕ(t) et que celui-ci est licite.

Proposition 13

* Remarque :

L’hypothèse de stricte monotonie n’est pas nécessaire. Sans cette hypothèse, on obtient une conclusion plus faible qui est : Si

Z d

c

f(u) du est convergente alors Z b

a

f(ϕ(t))×ϕ⁰(t) dt l’est aussi et on a : Z d

c

f(u) du= Z b

a

f(ϕ(t))×ϕ⁰(t) dt.

- Exercice 4 : Evaluer´

Z +∞

0

dt

(exp(t) + 1) (exp(−t) + 1).

(16)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Des critères de convergence

4 Des crit` eres de convergence

4.1 Divergence grossi` ere

Soienta un r´eel et f une fonction num´erique continue sur [a,+∞[. Si lim

x→+∞(f(x)) existe et

Z +∞

a

f(t) dt converge alors lim

x→+∞(f(x)) = 0.

Proposition 14

* Remarque :

Soientaun r´eel etf une fonction num´erique continue sur ]−∞, a]. Si lim

x→−∞(f(x)) existe et Z a

−∞

f(t)dt converge alors lim

x→−∞(f(x)) = 0.

, Exemple : On prouve ainsi que

Z +∞

5

t dtdiverge.

+ Mise en garde :

1. Il est possible que Z +∞

a

f(t) dt diverge bien que lim

x→+∞(f(x)) existe et soit nulle. Ainsi, Z +∞

7

1

t dt diverge.

2. Il est possible que Z +∞

a

f(t) dt converge bien que lim

x→+∞(f(x)) ne soit pas nulle. Il se peut en effet que lim

x→+∞(f(x)) n’existe pas !

3. Bien noter que ce crit`ere est valable en +∞et en−∞. Il est tout `a fait possible que Z b

a

f(t)dt converge, avec f continue sur [a, b[ avec a et b deux r´eels tels que a < b, avec lim

x→b⁻(f(x)) existe et est non nulle. On a vu, par exemple, en d´ebut de chapitre que

Z 1

0

ln(t)dt converge et pourtant, on a lim

x→0(ln(x)) = −∞. Rappelons que si lim

x→b⁻(f(x)) existe et est finie avec f continue sur [a, b[ avec a et b deux r´eels tels que a < b alors

Z b

a

f(t) dt converge (int´egrale faussement impropre).

(17)

4.2 Cas des fonctions paires ou impaires

Soient a un élément de R^?+∪ {+∞ }et f une fonction numérique continue sur ]−a, a[.

• Si f est paire alors Z a

−a

f(t) dt converge si et seulement si Z a

0

f(t) dt converge.

Dans ce cas, on a :

Z a

−a

f(t)dt = 2× Z a

0

f(t) dt.

• Si f est impaire alors Z a

−a

f(t)dt converge si et seulement si Z a

0

f(t) dt converge.

Dans ce cas, on a :

Z a

−a

f(t)dt = 0.

Proposition 15

+ Mise en garde :

On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. On peut avoirf paire ou impaire avec Z a

−a

f(t)dt diverge.

Z +∞

−∞

t dt, par exemple, est une int´egrale divergente.

4.3 Notion d’absolue convergence

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur à a. Soit f une fonction numérique continue sur [a, b[. Si

Z b

a

|f(t)|dt converge, on dit que Z b

a

f(t)dt est absolument convergente.

D´efinition 16

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur à a. Soit f une fonction numérique continue sur [a, b[. Si

Z b

a

f(t) dt est absolument convergente alors Z b

a

f(t) dt est convergente. On a alors :

Z b

a

f(t)dt 6

Z b

a

|f(t)|dt.

Th´eor`eme 17

(18)

+ Mise en garde :

On utilise les notations du précédent théorème. Ce théorème ne donne pas une une condition nécessaire et suffisante ! On va voir en td que

Z +∞

0

sin(t)

t dt est convergente sans ˆetre absolument convergente.

M´ethode:

On utilise les notations du précédent théorème. Pour prouver la convergence de Z b

a

f(t) dt, il y a deux grandes m´ethodes `a retenir :

1. Ou bien, j’arrive `a expliciter, pour tout x de [a, b[ (ou sur un voisinage de b), la quantit´e Z x

a

f(t)dt (int´egrale classique, on va donc tenter de reconnaˆıtre une primitive usuelle ou bien faire une int´egration par parties ou un changement de variables). On essaie alors de calculer

x→blim⁻ Z x

a

f(t) dt

. L’avantage de cette m´ethode est qu’elle donne la convergence et aussi la valeur de

Z b

a

f(t)dt. Le désavantage est qu’elle nécessite d’évaluer des primitives (ce qui n’est pas toujours possible) et de calculer une limite (ce qui n’est pas toujours évident).

2. Ou bien je tente de prouver l’absolue convergence en utilisant les critères convergence (théorème de majoration, équivalence, · · ·) que l’on va voir dans la dernière partie et en comparant f à des fonctions de référence ou à des fonctions auxquelles on peut appliquer la première idée.

L’avantage de cette méthode est qu’elle est assez facile à appliquer (pas de calcul de limite, pas de calcul de primitive). Le désavantage est qu’elle ne donne pas la valeur de

Z b

a

f(t) dt.

, Exemple :

On peut ainsi prouver, en connaissant en plus le th´eor`eme de comparaison, la convergence de Z +∞

0

sin(x²)×exp(−x) dx.

(19)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Des critères de convergence avec des intégrandes positives

5 Des crit` eres de convergence avec des int´ egrandes positives

5.1 Le th´ eor` eme de majoration

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ } strictement supérieur à a. Soit f une fonction numérique continue et positive sur [a, b[. F : x 7→

Z x

a

f(t) dt

´etant une fonction croissante, on en d´eduit que :

1. SiF est major´ee alors Z b

a

f(t) dt est convergente et, pour tout x de [a, b[, on a : Z x

a

f(t) dt6 Z b

a

f(t) dt.

2. Sinon, Z b

a

f(t) dt est divergente et Z b

a

f(t)dt diverge vers +∞.

Th´eor`eme 18

Soient b un réel et a un élément de R∪ { −∞ } strictement inférieur à b. Soit f une fonction numérique continue et positive sur ]a, b]. F : x 7→

Z b

x

f(t) dt

étant une fonction décroissante, on en déduit que :

1. SiF est major´ee alors Z b

a

f(t) dt est convergente et, pour tout x de ]a, b], on a : Z b

x

f(t) dt6 Z b

a

f(t) dt.

2. Sinon, Z b

a

f(t) dt est divergente et Z b

a

f(t)dt diverge vers +∞.

Th´eor`eme 19

* Remarque :

Ces théorèmes sont de simples applications du théorème de la limite monotone ! + Mise en garde :

On utilise les notations du précédent théorème.

1. Ne pas oublier l’hypothèse de positivité dans cette proposition ! Si on a affaire à une fonction f négative alors il suffit de savoir que, par linéarité,

Z b

a

f(t)dt et Z b

a

(−f(t))dt sont de même nature. Si on a des fonctions dont le signe est stable au voisinage de b, on peut invoquer le théorème de majoration en utilisant la relation de Chasles.

(20)

2. Ne pas oublier non plus que ce théorème s’applique pour des intégrales généralisées avec un seul problème. Si plusieurs bornes posent problème, on sait qu’on va s’intéresser, dans un premier temps, à des intégrales n’ayant, à chaque fois, qu’une seule borne problématique.

5.2 Le th´ eor` eme de comparaison

Soient f et g deux fonctions numériques continues et positives sur un intervalle I d’extrémités a et b avec a un élément de R∪ { −∞ } et b un éléments de R∪ {+∞ } strictement supérieur àa. On suppose quef 6g surI.

1. Si Z b

a

g(t)dtest convergente alors Z b

a

f(t)dtl’est aussi et Z b

a

f(t)dt6 Z b

a

g(t)dt.

2. Si Z b

a

f(t) dt est divergente alors Z b

a

g(t) dt l’est aussi et Z b

a

g(t) dt diverge vers +∞.

Th´eor`eme 20

+ Mise en garde :

On utilise les notations du précédent théorème.

1. Ne pas oublier l’hypothèse de positivité dans cette proposition ! Si on a affaire à une fonction f négative alors il suffit de savoir que, par linéarité,

Z b

a

f(t)dt et Z b

a

(−f(t))dt sont de même nature. Si on a des fonctions dont le signe est stable au voisinage de b, on peut invoquer le théorème de majoration en utilisant la relation de Chasles.

2. Ne pas ´ecrire Z b

a

f(t) dt6 Z b

a

g(t)dt avant d’avoir prouv´e la convergence de ces int´egrales.

M´ethode:

On utilise les notations du précédent théorème. Pour prouver la convergence de Z b

a

f(t) dt avec f positive sur [a, b[, il suffit donc de comparer, sur [a, b[ ou au voisinage deb, f à une autre fonction g positive dont on connaˆıt déjà la nature de

Z b

a

g(t) dt (les int´egrales de Riemann par exemple).

• Pour d´emontrer la convergence de Z b

a

f(t)dt, on tente de majorer f, sur [a, b[ ou au voisinage de b, par g fonction positive telle que

Z b

a

g(t) dt converge.

• Pour d´emontrer la divergence de Z b

a

f(t) dt, on tente de minorerf, sur [a, b[ ou au voisinage de b, par g fonction positive telle que

Z b

a

g(t) dt diverge.

(21)

, Exemple :

On peut en d´eduire ainsi les natures des int´egrales suivantes : Z +∞

0

exp −t²

dt et Z 1

0

(1−t)⁻¹³t⁻¹² dt

Z +∞

−∞

exp

−t² 2

dt converge et vaut √ 2π.

Proposition 21

5.3 Par ´ equivalence

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ }strictement supérieur à a. Soient f et g deux fonctions numériques continues et positives sur [a, b[. Sif(x)∼

b g(x) alors Z b

a

f(t)dt et

Z b

a

g(t)dt sont de mˆeme nature.

Proposition 22

* Remarque :

1. Cette proposition étant explicitement hors-programme, il faudra refaire la démonstration pour avoir le droit de l’invoquer ! Comme elle est très pratique, on l’utilise souvent. Sa démonstration est donc à maˆıtriser.

2. Bien entendu, la proposition précédente a son analogue à gauche : Soient b un réel et a un élément de R∪ { −∞ } strictement inférieur à b. Soient f et g deux fonctions numériques continues et positives sur ]a, b]. Si f(x) ∼

a g(x) alors Z b

a

f(t) dt et Z b

a

g(t) dt sont de mˆeme nature.

(22)

5.4 Par domination

Soient a un réel et b un élément de R∪ {+∞ }strictement supérieur à a. Soient f et g deux fonctions numériques continues et positives sur [a, b[. Si f(x) =

b o (g(x)) alors : 1. Si

Z b

a

g(t) dt converge, Z b

a

f(t)dt sera ´egalement convergente.

2. Si Z b

a

f(t)dt diverge, Z b

a

g(t) dt sera ´egalement divergente.

Proposition 23

* Remarque :

1. Cette proposition étant explicitement hors-programme, il faudra refaire la démonstration pour avoir le droit de l’invoquer ! Comme elle est très pratique, on l’utilise souvent. Sa démonstration est donc à maˆıtriser.

2. Bien entendu, la proposition précédente a son analogue à gauche : Soient b un réel et a un élément de R∪ { −∞ } strictement inférieur à b. Soient f et g deux fonctions numériques continues et positives sur ]a, b]. Si f(x) =

a o (g(x)) alors : (a) Si

Z b

a

g(t)dt converge, Z b

a

f(t) dt sera ´egalement convergente.

(b) Si Z b

a

f(t) dt diverge, Z b

a

g(t)dt sera ´egalement divergente.

, Exemple :

On peut en d´eduire ainsi la nature de Z +∞

0

t^x−1exp (−t) dt avecx un r´eel strictement positif.

(23)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Exercices du td

6 Exercices du td

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes, et le cas échéant calculer leur valeur : 1.

Z 1

0

√dt 1−t 2.

Z 1

0

ln²(t) dt 3.

Z +∞

0

1 4 +t² dt 4.

Z +∞

1

t (1 +t²)² dt

5.

Z a

−a

1

tan²(t)dt aveca = π 2 6.

Z +∞

0

1

t²+ 5t+ 6dt 7.

Z +∞

0

√ 1 t+√

t³ dt (poser u=√ t)

. Exercice 2 :

Soit f la fonction d´efinie sur R⁺ par : f : x 7→ 1 (x²+ 1)(√

x+ 1). On note F la primitive de f s’annulant en 1.

1. Montrer que Z +∞

0

f(t)dt converge.

2. A l’aide du changement de variable u = 1

t, calculer explicitement F(x)−F 1

x

pour tout r´eel xstrictement positif.

3. En d´eduire la valeur de Z +∞

0

f(t)dt.

. Exercice 3 :

D´eterminer la nature des int´egrales suivantes : 1.

Z +∞

1

ln (2 + cos(t))dt . 2.

Z +∞

−∞

exp(−|t|)dt.

3.

Z +∞

−∞

dt 1 +t². 4.

Z +∞

0

exp −√ t

√t dt

. Exercice 4 :

Prouver l’existence et calculer : Z 1

0

ln(1−x) +x x² dx et

Z +∞

0

ln

1 + 1 x²

dx.

Exercices ` a faire pendant la classe

(24)

Chapitre 7: Les intégrales généralisées Exercices du td

- Exercice 5 :

On note f la fonction d´efinie pour tout r´eel x strictement positif par f(x) = exp

−1 x

x² . On pose pour tout entier naturel non nul n,I_n =

Z +∞

n

f(x) dx.

1. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que I_n est bien d´efinie sans expliciter I_n.

2. Sans expliciter (I_n)n∈N^?, ´etudier la monotonie de la suite (I_n)n∈N^?et en d´eduire qu’elle converge.

3. Expliciter (I_n)n∈N^? et pr´eciser lim

n→+∞(I_n).

4. Montrer que I_n > 1 n − 1

2n² pour tout entier naturel non nul n. En déduire la nature de la série de terme général I_n.

- Exercice 6 :

Soit f la fonction d´efinie par :

f :x7→

Z +∞

x

exp(−t) t dt

1. Montrer quef(1) est bien d´efinie et que f(−1) n’est pas d´efinie.

2. Donner l’ensemble de d´efinition de f et exprimer f en fonction de G, une primitive de t 7→

exp(−t)

t surR^?+.

3. Montrer quef est d´erivable et expliciter f⁰.

4. Étudier les variations de f et donner ses limites éventuelles aux bornes de son ensemble de définition.

5. En utilisant une int´egration par parties, montrer le r´esultat suivant : f(x) ∼

+∞

exp(−x) x 6. Montrer que

Z 1

0

exp(−t)−1

t dtconverge. En d´eduire que Z 1

x

e^−t t dt ∼

0 −ln(x) puis un ´equivalent en 0 de f.

Exercices bonus

M Exercice 7 :

Soit α un réel. Déterminer la nature des intégrales suivantes : 1.

Z 1

0

ln(t)dt

2.

Z +∞

0.5

x^αdx

3.

Z +∞

0

ln(1 +

t⁻²)dt 4.

Z +∞

1

√x dx x³ + 1

5.

Z 1

−1

√ dt 1−t² 6.

Z 2

0

t−1 ln(t)dt

7.

Z +∞

1

sin(t) exp(−2t)dt

8.

Z 1

0

dx px(1−x)