UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2`emeann´ee Licence Eco-Gestion
Semestre 1 2012/2013
´Episode II : Int´egrales g´en´eralis´ees
E
XERCICE1
Sans utiliser les crit`eres de convergence, d´eterminer si les int´egrales suivantes convergent, et le cas ´ech´eant calculer leur valeur :
1. I1= Z +∞
0
1dt 2. I2=
Z +∞
1
t (1 +t2)2dt 3. I3=
Z 0
−∞
xe−x2dx
4. I4= Z +∞
2
1 3tdt 5. I5=
Z +∞
0
xe−xdx 6. I6=
Z +∞
2
1 tln2(t)dt
7. I7= Z 1
0
lnt dt 8. I8=
Z 0
−∞
3exdx 9. I9=
Z 1
0
√dt 1−t
E
XERCICE2
En utilisant les crit`eres de convergence, d´eterminer si les int´egrales suivantes sont convergentes : 1. I1=
Z +∞
0
2 3
x
dx 2. I2=
Z +∞
1
dx x3+ 3x2+x 3. I3=
Z +∞
0
r 2x+ 3 5x3+ 3x2+ 7dx
4. I4= Z +∞
0
x−5 x2+ 4x+ 4dx 5. I5=
Z +∞
1
lnx x2+ 1dx 6. I6=
Z +∞
0
e−u2du
7. I7= Z +∞
1
ln
1 + 1 x2
dx 8. I8=
Z +∞
e
dx xlnx 9. I9=
Z +∞
e
dx x(lnx)2
I
NDICATIONOn pourra pourI8etI9utiliser le changement de variableu= lnx.
E
XERCICE3
On notefla fonction d´efinie pour tout r´eelx >0parf(x) = e1/x x2 . On pose pour tout entiern>1,In=
Z +∞
n
f(x)dx
1. Montrer que l’int´egraleInest convergente et exprimerInen fonction den.
2. Montrer que lim
n→+∞n×In = 1.
E
XERCICE4
1. Montrer que l’int´egrale Z +∞
2
1 x√
xdxest convergente et calculer sa valeur.
Soitf :R−→Rla fonction d´efinie par :f(x) =
0 six <2 1
x√
2x six>2 . 2. Montrer que
Z +∞
−∞
f(x)dx= 1(f ´etant `a valeurs positives ou nulles, on dira quef d´efinit une densit´e de probabilit´e).
3. SoitXune variable al´eatoire r´eelle admettantfpour densit´e.
(a) D´eterminer suivant les valeurs dex,F(x) = Z x
−∞
f(t)dt(la fonction de r´epartition deX).
(b) Montrer que l’int´egrale Z +∞
−∞
xf(x)dxdiverge (en d’autres termes, la variable al´eatoireX n’admet pas d’esp´erance).
