UNIVERSITE CADI AYYAD
Facult´e PolyDisciplinaire de Safi TD 3 Analyse 2
D´epartement Maths–Info.
Fili`eres SMA–SMI(S2)
Exercice 1. Donner la nature de chacune des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes:
I1=
1
Z
0
sin(t)
t dt; I2=
1
Z
0
ln(t)
1−tdt; I3=
+∞
Z
0
sin(t)
et−1dt; I4=
+∞
Z
0
t+ 3−ln(t) t2+ 1 dt;
I5=
1
Z
0
e−t
t dt; I6=
+∞
Z
1
e−t−e−2t
t dt.
Exercice 2. Donner la nature et la valeur ´eventuelle de chacune des int´egrales g´en´eralis´ees suiv- antes:
J1=
1
Z
0
ln(x)dt; J2=
+∞
Z
0
arctan(t)
1 +t2 dt; J3=
+∞
Z
0
tne−tdt; J4=
+∞
Z
0
1 (1 +t2)√
tdt;
J5=
+∞
Z
0
ln(1 + 1
t2)dt; J6=
+∞
Z
0
ln(t) 1 +t2dt.
Exercice 3. SoientI=
π
Z2
0
ln(sinx)dxetJ =
π
Z2
0
ln(cosx)dx
1. Montrer la convergence des int´egrales I etJ puis v´erifier que I=J.
2. Montrer que2I=
π
Z2
0
ln
sin(2x) 2
dx.
3. End´eduire queI=J =−πln(2)2 .
Exercice 4. 1. Soit α >0. Montrer que l’int´egraleR+∞
1
sin(t)
tα+1 dt converge.
End´eduire que l’int´egraleR+∞
1
cos(t)
tα dtconverge.(on pourra faire une int´egration par partie.) 2. Montrer que l’int´egraleR+∞
1
cos2(t)
t dt diverge.(lin´eariser ) End´eduire que l’int´egraleR+∞
1
sin(t) t
dt diverge.
3. V´erifier que cos(t)√
t ∼
+∞
cos(t)
√t
1 +cos(t)√
t
Mais R+∞
1
cos(t)
√t dt et R+∞
1
cos(t)
√t
1 + cos(t)√
t
dt ne sont pas de mˆeme nature.
Exercice 5. SoitI=R+∞
0
e−x−e−2x
x dx
1. Montrer queI est convergente.
2. Pour ε >0, ´etablir en posantx= 2t, la relation
+∞
Z
ε
e−x−e−2x
x dx=
2ε
Z
ε
e−x x dx.
3. En d´eduire le calcul deI.
4. En d´eduire le calcul deR1 0
x−1
ln(x)dx. (on pourra poserx=e−t) Exercice 6. (Fonction Gamma d’Euler)
A.U:2019/2020 E. BENDIB
UNIVERSITE CADI AYYAD
Facult´e PolyDisciplinaire de Safi TD 3 Analyse 2
D´epartement Maths–Info.
Fili`eres SMA–SMI(S2)
1. Pour quelles valeurs dep∈Rla fonctionp7−→Γ(p) =
+∞
Z
0
tp−1e−tdtest elle d´efinie?
2. A l’aide d’une int´egration par partie, montrer que pour tout p > 0, Γ(p+ 1) = pΓ(p).
End´eduire queΓ(n+ 1) =n! pour toutn∈N.
A.U:2019/2020 E. BENDIB
