TD 2 – Int´ egration, int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Math´ematiques 3 TD 2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020

TD 2 – Int´ egration, int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Int´egration sur un segment

Exercice 1. Changements de variable basiques.

Calculer les int´egrales suivantes : 1.

Z 1 0

(2t+ 1)⁷dt, 2.

Z 2 1

1 3udu, 3.

Z π/2 0

e^sinxcosxdx, 4.

Z π/4 0

sint cos²tdt,

5.

Z e 1

ln(x) x dx, 6.

Z 4 1

e

√x

√xdx, 7.

Z _e

2

1 ulnudu.

Exercice 2. R`egles de Bioche.

Calculer les int´egrales suivantes.

1.

Z ^3π

4

π 4

sin(x) 3 + 2 cos(2x)dx

On pourra faire le changement de variable u= cos(x).

2.

Z ^π

4

0

cos(x) 3 + 2 cos(2x)dx

On pourra faire le changement de variable u= sin(x).

3.

Z ^π₂

π 6

1 sin(t)dt

On pourra faire le changement de variable u= cos(t).

Exercice 3. Primitives.

Donner une primitive des fonctions suivantes, dont on pr´ecisera les domaines de d´efinition : 1. x7→xlnx,

2. t7→ln²t, 3. x7→e^xsinx,

4. t7→sin(t^1/3), 5. x7→√

9−4x², Solution de l’exercice 3.

1. La fonctionf :x7→xlnxest d´efinie sur ]0,+∞[ et continue, d’ apr`es le th´eor`eme fondamental de l’int´egration une primitive de f est donn´ee par la fonction F : t 7→ Rt

1 xlnxdx. Soit alors x >0, on effectue alors une IPP avec les fonctions de classe C¹ u:x7→ ^x₂² etv:x7→lnx, on a alors

F(t) = Z t

1

u⁰(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]^t₁− Z t

1

u(x)v⁰(x)dx

= 1

2t²lnt− Z t

1

1 2xdx

= 1

2t²lnt−1 2t+1

2

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Math´ematiques 3 TD 2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 Remarquons que la fonctionf se prolongeait par continuit´e en 0 en posantf(0) = 0, et comme le th´eor`eme fondamental nous donne une primitive de f qui doit ˆetre continue, et comme la fonctionF se prolonge par continuit´e en 0, on a que F est aussi la primitive de f ´etendue en une fonction continue d´efinie sur [0,+∞[ en posant F(0) = 1/2.

2. La fonction f :t7→ ln²t est d´efinie sur ]0,+∞[ et continue, d’ apr`es le th´eor`eme fondamental de l’int´egration une primitive de f est donn´ee par la fonction F :x 7→ Rx

1 ln²tdt. Soit x >0, une int´egration par partie donne

F(x) = Z x

1

1·ln²tdt=

tln²tx 1−

Z x 1

t2 tlntdt

Et comme une primitive det7→lntest donn´ee part7→tlnt−t(ce que l’on pourrait trouver en faisant une deuxi`eme IPP avecu(t) =tetv(t) = lnt), on trouve finalement

F(x) =xln²x−xlnx+x−1.

3.

4. La fonctionf :t7→sin(t^1/3) est d´efinie sur ]0,+∞[ et continue, apr`es le th´eor`eme fondamental de l’int´egration une primitive defest donn´ee par la fonctionF :x7→Rx

(π/2)³sin(t^1/3)dt. Prenons x >0 Effectuons le changement de variableu=t^1/3, licite cart7→t^1/3estC¹sur ]0,+∞[¹, alors du= ¹₃t^−2/3dt = ^u−2₃ dt, et donc F(x) = 3R_x^1/3

π/2 u²sin(u)du. Effectuons alors deux int´egrations par parties :

F(x) =3

−u²cos(u)x^1/3 π/2 +

Z x^1/3 π/2

2ucosudu

!

=3 −x^2/3cos(x^1/3) + [2usinu]^x_π/2^1/3 − Z x^1/3

π/2

2 sinudu

!

=3

−x^2/3cos(x^1/3) + 2x^1/3sin(x^1/3)−π+ [2 cosu]^x_π/2^1/3

=3

−x^2/3cos(x^1/3) + 2x^1/3sin(x^1/3)−π+ 2 cos(x^1/3)

.

Remarquons que comme pour la premi`ere question, l’expression qu’on a obtenue se prolonge par continuit´e en 0 et comme f se prolongeait par continuit´e, l’expression obtenue donne la primitive du prolongement def par continuit´e.

5. La fonction est d´efinie sur l’ensemble desx∈Rtels que 9−4x² >0, ce qui ´equivaut `a|x|63/2.

Elles est continue sur son intervalle de d´efinition [−³₂,³₂], donc d’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’int´egration, une primitive de f est la fonction F : t 7→ Rt

0

√9−4x²dx. Soit t ∈ [−³₂,³₂] Effectuons le changement de variableu= ²₃x, alors du= ²₃dx et on a

F(t) = Z ²

3t 0

3 2

p9−9x²dx

= Z ²

3t 0

9 2

p1−x²dx

On veut alors effectuer le changement de variable x = sinu, dx = cosudu, alors √

1−x² = cos²uet comme u∈[−π/2, π/2] on a cosu=√

1−x² donc on ´ecrit : Z _arcsin²

3t 0

cos²udu= Z ²

3t 0

p1−x²dx.

1. Attention, la fonction n’est pas d´erivable en 0, c’est pour ¸ca qu’on a prisx >0

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques

Math´ematiques 3 TD 2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 Comme pour toutu∈R on a cos²u= ^{1+cos 2u}₂ , il vient

Z ²

3t 0

p1−x²dx=

"

u+ ^sin(2u)₂ 2

#arcsin(^2t₃)

0

= arcsin(2t/3) +sin(2 arcsin(^2t₃)) 2

2

En utilisant la formule sin(2θ) = 2 sinθcosθ et cos(arcsinx) =√

1−x², il vient enfin F(t) = 9

4arcsin(2t/3) +3tp

1−(2t/3)² 2 Exercice 4. Limite d’int´egrale.

Soit f une fonction continue sur [0; 1]. Pour tout tout entier natureln, on pose : In=

Z 1 0

xⁿf(x)dx.

Montrer que lim

n→+∞In= 0.

Exercice 5. Int´egrale oscillante.

1. Montrer que pour tout a < b, on a lim

n→+∞

Z b a

cos(nx)dx= 0.

2. Montrer que pour tout a < b, et pour toute fonction f continue par morceaux sur [a, b], on a

n→+∞lim Z b

a

f(x) cos(nx)dx= 0.

On pourra commencer par le cas des fonctions en escalier.

Exercice 6. Autour du th´eor`eme fondamental de l’int´egration.

Soit f une fonction continue sur Ret soitGla fonction d´efinie surRpar : G:x7−→ 1

2

Z x²+1 x−1

f(t)dt.

Montrer que la fonctionG est de classe C¹ et calculer sa d´eriv´ee.

Int´egrales g´en´eralis´ees

Exercice 7. Int´egrales convergentes.

Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont elles convergentes ? 1.

Z 1 0

lntdt 2.

Z +∞

0

e^−t2dt 3.

Z +∞

0

tsinte^−tdt 4.

Z +∞

1

arctanx xln(1 +x²)dx 5.

Z 1 0

cos² 1

t

dt

6.

Z +∞

1

e⁻

√ lntdt

7.

Z +∞

1

e⁻

√xdx

8.

Z 1 0

dt 1−√

t 9.

Z +∞

0

1 +tln t

1 +t

dt 10.

Z +∞

0

e^−t 1

1−e^−t −1 t

dt

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Math´ematiques 3 TD 2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 Exercice 8. Avec des param`etres.

Discuter, selon la valeur du param`etreα∈R, la convergence des int´egrales suivantes.

1.

Z +∞

0

dt t^α 2.

Z +∞

0

tlnt (1 +t²)^αdt 3.

Z +∞

0

arctant t^α dt

4.

Z +∞

0

t^αln(t+e^αt)dt 5.

Z +∞

2

pt⁴+t²+ 1−tp³ t³+αt

dt

Exercice 9. Convergence absolue.

Etudier la convergence et la convergence absolue de l’int´´ egrale suivante : Z +∞

1

cost t dt.

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