TD 2 : Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

UPMC LM250

PeiP2 2013-2014

TD 2 : Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Exercice 1. Calculs explicites

Dire si elles convergent et le cas ´ ech´ eant, calculer la valeur des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees suivantes :

1. R

ln(t) (1+t)²

dt, 2. R

1

ln(t) (1+t)²

dt,

3. R

0

dt (1+t²)²

, 4. R

a

√

(t−a)(b−t)

.

Exercice 2. R´ ecurrence

On pose pour tout r´ eel a 6= 0 et n ∈ N

: f

(a) = R

R dt (t²+a²)ⁿ

.

1. Montrer par r´ ecurrence que les int´ egrales f

convergent et ´ etablir une formule de r´ ecurrence entre f

(a) et f

(a).

2. En d´ eduire la valeur de f

(a) pour tout n.

Exercice 3. Nature des int´ egrales

D´ eterminer la nature des int´ egrales suivantes : 1. R

0 sin(t)

t²

dt, 2. R

0

1−cos(t) sin(t)⁴

dt 3. R

0

e^t−1

|ln(1+t)|^1,5

dt, 4. R

0

(1+t)^3,5−1 tan(t)

dt, 5. R

1 1 tln(t)³

dt

6. R

0

tln(t) (1+t²)^α

dt, 7. R

2/π

ln(cos(1/t))dt, 8. R

0

√

tsin(1/t²) ln(1+t)

dt, 9. R

0 e⁻

√x2+x+1

√x

dx, 10. R

0

1 y^α(1+y^β)

dy,

11. R

0

sin(t) t^α

dt, 12. R

0

ln(1+x^α) x^β

dx, 13. R

0

(1+s)^α−s^α s^β

ds, 14. R

e²

dt

t^α(ln(t))^β(ln(ln(t)))^γ

, 15. R

0

sin(t

)dt.

Exercice 4. Fonction p´ eriodique / t

Soit f : R → R une fonction continue, T p´ eriodique. Montrer que l’int´ egrale R

T f(t)

t

dt converge si et seulement si R

0

f(t)dt = 0.

Exercice 5. D´ ecroissance et int´ egrabilit´ e

Soit f : R → R continue d´ ecroissante et int´ egrable en +∞. Montrer que f (x) = o

(1/x).

1