Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2012-2013
D. Blotti`ere Maple
TP n˚4
R´ eduction d’une matrice carr´ ee Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
Projet´ e orthogonal d’un point sur une droite dans l’espace
Exercice 1 (Extraction de donn´ees d’une structure ordonn´ee)
Certains r´esultats retourn´es par Maple (e.g. ´el´ements propres d’une matrice) se trouvent dans une structure ordonn´ee (e.g. liste, ensemble, vecteur). Il est parfois n´ecessaire de pr´elever certains de ces r´esultats dans cette structure (e.g. les valeurs propres parmi les ´el´ements propres). L’objectif de cet exercice est d’expliquer comment l’on peut y parvenir, sur un exemple,sans faire de copier-coller.
1. Saisir la structure ordonn´ee suivante.
liste := [ a , b , { [ x1 , y1, z1 ] } ] , [ c , d , { [ x2 , y2 , z2 ] , [ x3 , y3 , z3 ] } ] ;
2. Ex´ecuter les instructions suivantes et commenter.
liste[2] ; liste[2][1] ; liste[1][3] ; liste[2][3][2] ;
3. S’inspirer de la question 2 pour extraire delisteles donn´ees suivantes.
(a) d
(b) [x1,y1,z1](sans accolade) (c) y2
4. `A partir deliste, contruire la matrice M =
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3
.
Exercice 2 (R´eduction d’une matrice 3×3)
1. Affecter la matriceA=
2 1 1
1 2 1
1 1 2
dans une variable not´eeA.
2. ´Etudier l’aide de la commande eigenvectors.
3. Ex´ecuter la commande
elts_propres:=eigenvectors(A) ;
4. Extraire deelts_propresles valeurs propres de la matriceA.
5. Donner la dimension de chacun des sous-espaces propres deA.
6. La matriceAest-elle diagonalisable ?
7. On appelleBune base de vecteurs propres deAetP la matrice de passage de la base canonique `a la base B. V´erifier queP−1AP est bien diagonale.
On utilisera elts_proprespour construire la matriceP.
1
8. Construire une matrice Q∈ M3(R) qui est inversible et telle que :
Q−1AQ=
1 0 0
0 4 0
0 0 1
.
On utilisera elts_proprespour construire la matriceQ.
Exercice 3 (R´eduction d’une matrice 5×5 `a param`etres − Oral ENSAM) SoitAla matrice d´efinie par :
A=
a 0 0 0 b
0 a 0 b 0
0 1 2 1 0
0 b 0 a 0
b 0 0 0 a
o`uaetbsont deux param`etres complexes.
1. Donner une CNS pour que la matrice Asoit diagonalisable.
2. On suppose la CNS de la question 1 satisfaite. On appelle Bune base de vecteurs propres deA et P la matrice de passage de la base canonique `a la baseB. V´erifier que P−1AP est bien diagonale.
Exercice 4 (´Etude de la nature d’une int´egrale g´en´eralis´ee `a param`etres − Oral ENSAM) Donner une CNS sur (a, b)∈R2 pour que l’int´egrale g´en´eralis´ee
J(a, b) = Z +∞
0
ln(x2+x+ 1) +aln(x2+ 2x+ 3) +bln(x2+x+ 4) dx converge.
Exercice 5 (Projection orthogonale d’un point sur une droite dans l’espace−Oral ENSAM) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. On se donne la droiteDd’´equation cart´esienne :
x + 2y − 5z − 1 = 0
10x − 7y + 3z + 2 = 0 et le pointA(1,2,3).
1. Calculer les coordonn´ees du projet´e orthogonal de Asur la droiteD. 2. Calculer la distance deA`a la droiteD.
2