• Aucun résultat trouvé

R´ eduction d’une matrice carr´ ee Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "R´ eduction d’une matrice carr´ ee Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2012-2013

D. Blotti`ere Maple

TP n˚4

R´ eduction d’une matrice carr´ ee Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Projet´ e orthogonal d’un point sur une droite dans l’espace

Exercice 1 (Extraction de donn´ees d’une structure ordonn´ee)

Certains r´esultats retourn´es par Maple (e.g. ´el´ements propres d’une matrice) se trouvent dans une structure ordonn´ee (e.g. liste, ensemble, vecteur). Il est parfois n´ecessaire de pr´elever certains de ces r´esultats dans cette structure (e.g. les valeurs propres parmi les ´el´ements propres). L’objectif de cet exercice est d’expliquer comment l’on peut y parvenir, sur un exemple,sans faire de copier-coller.

1. Saisir la structure ordonn´ee suivante.

liste := [ a , b , { [ x1 , y1, z1 ] } ] , [ c , d , { [ x2 , y2 , z2 ] , [ x3 , y3 , z3 ] } ] ;

2. Ex´ecuter les instructions suivantes et commenter.

liste[2] ; liste[2][1] ; liste[1][3] ; liste[2][3][2] ;

3. S’inspirer de la question 2 pour extraire delisteles donn´ees suivantes.

(a) d

(b) [x1,y1,z1](sans accolade) (c) y2

4. `A partir deliste, contruire la matrice M =

x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3

.

Exercice 2 (R´eduction d’une matrice 3×3)

1. Affecter la matriceA=

2 1 1

1 2 1

1 1 2

dans une variable not´eeA.

2. ´Etudier l’aide de la commande eigenvectors.

3. Ex´ecuter la commande

elts_propres:=eigenvectors(A) ;

4. Extraire deelts_propresles valeurs propres de la matriceA.

5. Donner la dimension de chacun des sous-espaces propres deA.

6. La matriceAest-elle diagonalisable ?

7. On appelleBune base de vecteurs propres deAetP la matrice de passage de la base canonique `a la base B. V´erifier queP−1AP est bien diagonale.

On utilisera elts_proprespour construire la matriceP.

1

(2)

8. Construire une matrice Q∈ M3(R) qui est inversible et telle que :

Q−1AQ=

1 0 0

0 4 0

0 0 1

.

On utilisera elts_proprespour construire la matriceQ.

Exercice 3 (R´eduction d’une matrice 5×5 `a param`etres − Oral ENSAM) SoitAla matrice d´efinie par :

A=

a 0 0 0 b

0 a 0 b 0

0 1 2 1 0

0 b 0 a 0

b 0 0 0 a

o`uaetbsont deux param`etres complexes.

1. Donner une CNS pour que la matrice Asoit diagonalisable.

2. On suppose la CNS de la question 1 satisfaite. On appelle Bune base de vecteurs propres deA et P la matrice de passage de la base canonique `a la baseB. V´erifier que P−1AP est bien diagonale.

Exercice 4 (´Etude de la nature d’une int´egrale g´en´eralis´ee `a param`etres − Oral ENSAM) Donner une CNS sur (a, b)∈R2 pour que l’int´egrale g´en´eralis´ee

J(a, b) = Z +∞

0

ln(x2+x+ 1) +aln(x2+ 2x+ 3) +bln(x2+x+ 4) dx converge.

Exercice 5 (Projection orthogonale d’un point sur une droite dans l’espace−Oral ENSAM) SoitR= (O;−→

i ,−→ j ,−→

k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. On se donne la droiteDd’´equation cart´esienne :

x + 2y − 5z − 1 = 0

10x − 7y + 3z + 2 = 0 et le pointA(1,2,3).

1. Calculer les coordonn´ees du projet´e orthogonal de Asur la droiteD. 2. Calculer la distance deA`a la droiteD.

2

Références

Documents relatifs

´ Etudier les variations de f et donner ses limites ´ eventuelles aux bornes de son ensemble de d´

Donner une primitive des fonctions suivantes, dont on pr´ ecisera les domaines de d´ efinition : 1.. Limite

Donner une primitive des fonctions suivantes, dont on pr´ ecisera les domaines de d´ efinition : 1... Limite

Proposition 11.1 Soit (f n ) une suite de fonctions localement int´ egrables sur l’intervalle ouvert ]a, b[, ` a valeurs dans le mˆ eme e.v.n.. Cours de

1 D´ efinitions des int´ egrales convergentes 2 2 Propri´ et´ es des int´ egrales convergentes 5 3 Int´ egrale g´ en´ eralis´ ee d’une fonction.. a valeurs

[r]

Indication : On pourra scinder l’´ etude en plusieurs parties, suivant la valeur de

Exercice 194 (fonction de r´ epartition et premiers moments d’une loi exponentielle). Soit λ un r´ eel