L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚15 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
Exercice 193 (fonction de r´epartition et premiers moments de la loi uniforme sur [0,4]) On d´efinit la fonctionf par :
f:R→R; t7→
1
4 si 0≤t≤4 0 sinon.
1. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
f(t)dt est convergente et calculer sa valeur.
2. Soitx∈R. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z x
−∞
f(t)dt est convergente et calculer sa valeur.
3. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
t f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
4. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
t2f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
Exercice 194 (fonction de r´epartition et premiers moments d’une loi exponentielle)
Soitλun r´eel strictement positif. On d´efinit la fonctionf par : f:R→R; t7→
λ e−λ t sit≥0 0 sinon.
1. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
f(t)dt est convergente et calculer sa valeur.
2. Soitx∈R. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z x
−∞
f(t)dt est convergente et calculer sa valeur.
3. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
t f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
4. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
t2f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
F Exercice 195 (cas o`u l’int´egrande d’une int´egrale g´en´eralis´ee convergente est paire (resp. impaire)) Soitf:R→Rune fonction continue par morceaux telle que l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z +∞
0
f(t)dtest convergente.
1. Montrer que sif est paire, alors l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
f(t)dtest convergente et :
Z +∞
−∞
f(t)dt= 2 Z +∞
0
f(t)dt.
2. Montrer que sif est impaire, alors l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
f(t)dtest convergente et :
Z +∞
−∞
f(t)dt= 0.
Exercice 196 (premiers moments de la loi normale centr´ee r´eduite) On d´efinit la fonctionf par :
f:R→R; t7→ 1
√2πe−t
2 2.
On rappelle (cf. cours) que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
f(t)dt est convergente et que Z +∞
−∞
f(t)dt= 1.
1. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
t f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
2. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
t2f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
F Exercice 197 (absence de moment d’ordre 1 pour une loi de Cauchy)
Soita∈R∗ un r´eel fix´e. Pour toutc∈R, on d´efinit la fonctionfc par : fc:R→R; t7→ c
a2+t2. 1. Justifier que l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z +∞
−∞
fc(t)dtest convergente et calculer sa valeur.
2. En d´eduire qu’il existec∈Rtel que Z +∞
−∞
fc(t)dt= 1.
3. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
−∞
|t|fc(t)dtest divergente.
F Exercice 198 (crit`ere de domination et crit`ere de Riemann) 1. En dominant judicieusement la fonctiont7→ 1
2 +t5 sur [1,+∞[, montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
1
1 2 +t5 dt est convergente.
2. (a) Montrer que :
∀t∈[e,+∞[, 0≤ 1
t3ln(t) ≤ 1 t3. (b) En d´eduire, avec soin, que l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z +∞
1
1 t3ln(t) dt est convergente.
